I, 3 : a: asa i

La tatle donnée n^ 3o . peut aussi servir , connoissant le prix dune mesure dans 1 ancien ou le nouveau système, a trouver le prix de la mesure correspondante dans 1 autre.

Exemple CVI. Un certain drap coûte 3i^ Taune de i^arîs; à combien revient le mètre?

On a vu (3o) que 69 aunes de Paris valent 82 mètres.; ainsi le prix dune axine x 69, égale le prix d'un mètre x 82 , <;e qui donne cette proportion (346) 82 : 69 : : prix d*«me aune: prix d'un mètre, c est-a-dire , 82 : 69 :: 3i^ : 3:=» 26^ 00, c'est le prix du mètre ^ on opéreroit d'une manière sembkble dans tout autre cas.

Remarque.

394. La table du n® 3o ne donne qu'une approxunation : à la vérité elle est suffisa^ite dans la plupart dés cwconstances , mais on peut dans quelques cas avoir besoin de rapports exacts. Il sera facile de les trouver a l'aide des valeurs suivantes que nous empruntons à l'instruction de IVt Haros, sur les non-, velles mesures , ouvrage dont nous avons extrait aussi les six derniers exemples que nous venons de rapporter.

Le mètre vaut exactement 3^ oP i i^'8"^% 296.

Le kilogramme vaut 2Îb o* o5 5| 35g, i5 poids de marc.

L'auijie de Paris vaut 3** 7P lo^^* |. * ; /

i58 (Cours de Mathématiques^

De là Règle de Société.

895. La règle de société est une opération qui a J^otir but de partager un nombre en parties qili soient entre dles coracme des nombres donnés : on l'appelle règle de, société, parce qu'elle sert a partager entre plusieurs associés le bénéfice ou la J^erte résultant de leur isociété.

Pour partager im nombre en parties qui soient entre elles comme des nombres donnés , il faut faire Une sonline des nombres proportionnels donnés ; puis poser cette proportion : lu somme des nombres donnés est au nombre à partager, comme l'un des nombres proportionnels est a la partie qui lui correspond. Faisant donc autant de proportions comme on veut trouver de parties , on aura toutes ces parties.

En effet, supposons qu'il s'agisse de partager 486 en trois

farties proportionnelles aux nombres 2 , 5 et 1 1 : d'après énoncé de la question, il faudra que l'on ait 2 : 5 : : i^c partie. : 2™^ partie, et 2 : ii : : i^e partie : 3"»*^ partie, ou en changeant les nombres de place , 2 : i^e partie : : 5 : 2™« partie ^ et 2 : i^e partie : : i i : 3™* partie , a cause du rapport commun 2 : ir*i partie, tous ces ini^j^rts sont égaux, et l'on aura 2 : i^e partie : : 5 : 2"»« partie : : 1 1 : 3'»« partie. Dans cette suite de rapports égaux, la somme des antécedens est a la somme des conséquens, comme. un antécédent esta son conséquent (374) • ^^ aura donc 2 + 5 + ii : i^® partie -4- 2™« -f- 3'»« ou le nombre a partager 486 : : 2 : i^e partie ; trouvant le quatrième terme de cette proportion, on aura donc la i^e partie. On auroit eu également 2 + 5 -f- 1 1 : 486 : : 5 : 2™« partie, ce qui auroit fait connoître la 2™« partie, et ainsi de suite. On aura ainsi 54, i35 et 297 pour les trois parties cherchées.

[Mais il est aisé de remarquer qu'il n'est pas absolument nécessaire de faire autant de règles de trois qu'il y a de parties à trouver : on peut se dispenser de la dernière , en retranchant du nombre proposé , la somme des autres parties , quand on les a trouvées.] Il vaut mieux cependant calculer directement toutes les parties cherchées, en faisant une proportion pour chacune , afin de se conserver le moyen le plus commode de vérifier l'opération par la simple addition des parties trouvées , dont la somme doit être égale au nombre a partager.

Exemple CVII.

[Trois personnes ont a partager le bénéfice de la prise d'un

COUHS DE Math^H ÏTIQUËS. iSp

vaissean. La première a fait iin fonds de ^oooo*^, la seconde <lé 60000, la troisième de 120000; on demande ce mâreTient à chacune, sur la prise estimée 800000*^, tous frais faits.

On voit cpi'il s'agit de paitager Sooooo**', en parties qi^ aient entr'elles les mêmes rapports que 20000, 60000, 130000, ou (365) que 2, 6, 12, puisque chacun doit avoir proportionnellemeni: à sa mise ; il faut donc ajouter les trois parties proportionueUes 2, 6, 12, et faire les trois proportions suivantes, seulement deux.

Sooooo : : aW :

: la première partie.

: la seconde partie.

: la troisième partie.

Ces trois parties seront 80000"" , 240000 , 480000.

396. La questionpourroit être [Jns compliquée, et cependant èlre ramenée aux mêmes principes , comme dans l'exemple qui suit.

Exemple CVIII.

Trois personnes ont mis en société ; la première 3ooo*'' , qui ont été pendant six. mois dans la société ; la seconde 4ooo, qui y ont été pendant cinq mois, et la troisième 8000, qui y ont resté pendant neuf juB'Si combien chacun doit-elle avoir sur le bénéfice qui monte à laoSo"^?

On réduira toutes les mises à un même temps] , en muUipltut chacune d'elles par le nombre d'iiriitus de temps qu'elle a resté dans la société , l'unité de temps étEiat supposée la même pour toutes. On dira donc :

[ La mise de Booo"" a dû produire pendant six mois, autant que 6 fois 3oao ou 18000, pendant un mois.

La mise de 4ooo^ a dû produire pendant 5 mois, autant que 5 fois 4ooo ou .20000 , pendant un mois.

Enfin la mise de Sooo**" a dû produire en 9 mois, autant <jue 9 fois 8000 ou 72000, pendant un mois.

Ainsi la question est réduite à cette autre; les mises des trois associés sont 18000*, aoooo, 72000; combien revient-il ii chacun sur le gain t2o5o7

En procédant comme dans l'exempte ci-dessns, on trouvera 1971W 16» 4'' A , 2i9o«- 18' 2<« Z , 7887"" 5» Sd 1.

Remarque au. sujet de la règle pre'céleitle.

397. Il n'est pas inutile d'examiner un cas qui peut embarrasser les commcnçans. Si l'on proposoit cette question, partager 65o en trois parties, dont la première soit à la seconde : : 5 ; 4 » el «lont la première soît à la troisième ; : 7 : 3.

i6o CouR« DE Matsémâtiquss.

On né petit pas appliquer ici la' règle précédente, sans une préparation y qui*consiste a rendre la mène, dans chaque rapport donné, la partie proportionnelle de Tune des trois parts (dierchées ; par exemple , celle de la première : ] c'est ce que nous donnerons le moyen de faire, en général, dans la règle de fausse position, d<mt nous allons nous occuper.

De quelques autres Règles dépendantes des Proportions*.

* 398. [ Quoique les règles suivantes soient dun usage moins fréquent que les précédentes, nous ne pouvons cependant les omettre absolument : outre qu'elles ne sont pas sans utilité par elles-mêmes , elles sont d'aillairs propres k faiure sentir les usages des proportions. ]

399. [La première dont nous parlerons, est la règle ^tf/ie fausse positiom. On FappUqoe souvent a résoudre des questions qui appartiennent a la règle de société , dont elle diffère en ce qu au lieu de prendre les parties proportionnelles telles qu elles sont données par Fénoncé de la question, elle en prend une ari)itrairement , et y subordonne fes autres, conformément à la question^ ce qui rend le calcul un peu plus facile.

Exemple CXIX.

Partager 64o^ à trois personnes , dont la seconde ait le quadruple de la première , et la troisième deux fois et 1, autaiu que les deux autres ensemble.

Je prends arbitrairement, pour représenter la première partie, le nombre 3 dont je puis commodément prendre te i.

La première partie étant 3, la seconde sera 12, et la troisicmc o5.

La question csf réduite à partager G^o en trois parties qui soient entr elles comme les trois nombres 3, 12 et 35, ce qui se fera comme il a été dit(395).]

^ 4oo- [ La règle de fausse position sert aussi a résoudre des questions qui sont , en quelque façon , l'inverse de celles de la règle de société j pmsqu il s'agit de revenir de la somme de quelques parties dun nombre, a ce nombre même, comme dans l'exemple qui suit.

Exemple CX.

On demande de trouver un nombre dont le i , le i et les fassent 808. Je prends un nombre dont je puisse avoir commodément le l, le ^ et les -^ (ce qui est facUe en multipliant

les

CotTlis TbT MxtàÈlsikttqtBA. i6i

les trois dénominateurs). Ce nombre lî^ra io5 ; j'en prends le -J qui est 35, le y qui est 21 ^ et les i qui sont 45, j'ajoute

ces trois noitiSbres, et fsi loi qui est compoEfé des parties de lôS ^ de la même manière que 808 .l'est de celles Ai «pombre eïi question; donc le nombre en question doit avoir mèrne rapport k 808 , que ïd5 k ioi ; il doit donc êî±e te cfitatrrèime terme d'iiné proportion qiii commeftceroît par téh ttois^cî. . .

loi ; io5 :: 608 : •

Ce quatrième terme est 840, dont 808 renfermé, en effet, le i, le i'et les i.l

Cette opération peut servir a résoudre le cas mentiefimé ( 397 ) dans la règle de société.

Pour cîela cto représentera psfr i , pafr etefaple , Flihfe des parties chercbées, et Ton trouvera la valeur côrrê^pbndafttfe dfe toutes les autrels partiel d'après les rapports domiés : ces valeurs seront donc évidcmmeiit proportionnelles aux véritables, et serviront a les trouver comme aans la règle de sodiété ordinaire. On peut réduire toutes les valeurs proportionnelles au même dénominateur, et alors il suffira d'employer leurs numérateurs.

Par exemple , si on veut partager 6So^ îen trois partie^ telles que l'on ait, P^e : S<i« ; : 3 : 4 ? et Pr« : Tm« : : 7 : 3 ^ to repré- ■ sentant par i la première, la seconde sera -| d'après la première

proportion, et la troisième sera 5 d'après la secotide proportion ,

la question est donc ramenée k partager 65o en trois .parties propomonnelles , à i, -^ et ^, ou à 35 > a8 et i5, Ge qui revien-

droît k une règle dé société ordîn8li!*e.

Si on vouloit partagea (55o en squatte pârtîefe telles q«e l'on

eût, Pre : S^« : : 3 : 4 en l'eprééVtttûnt fô ^pt^ettiièl* fav ly la

Tme : Qme : ; 5 : 6 sèconde seroit i d'après la première

Sae : T;mG : : 2 : 3 proportion ; cette valeur mise dans la

troisième proportion , dbnneroit 2 pour la troîsièiîfe partie , et

celle-ci mise dans la seconde proportion, dontieroît 'Ji poiiV la

quatrième partie. Il faudroit donc partager 65 o en quati-e parties proportionnelles, a i, i, 2 et i^^ oua i5,2o, 3oJet 36.

Ce qui ne présente aucune difficulté.

401. [La seconde règle dont nous pàrlerohè ^ lest k^eUë de deux fausses positions.

Elle sert dans les questions où îî s^agit de partftgêf^, tion pas le nombre môme proposé , mais seulement utte partie fie .ce tioœbré , en parties proportionnelles à des nombl-es àcfiiités^ V^:3|eippïe suivant fera connoitre là règle et son usa^e. :";...

arithmétique. L

' i62 CouRA DE Mathématiques.

Exemple CXI.

Il s^agit de partager 6964^ entre trois personnes ^ de numière que la seconde ait autant que la première , et ô^ff de plus; et que la troisième ait autant que les deux autres ensemble} et 76^ de* plus.

Sans les 54 et 78^1 il est clair quM ne s'agiroit que de partager le nombre proposé ^ en parties proportionnelles aux nombres i, 1 et 2 ; mais puisqu'il faut prélever sur la somme S/^tf" pour la seconde personne ; 54^ plus 78^ pour la troisième ; il est évident qu'il n'y a qu'une partie du nombre proposé , qui doit partager en parties proportionnelles à i , 1 et 2 : comme cette partie ^ qui est tacile à trouver dans l'exemple actuel , peut être plus difficile à apercevoir dans d'au très- circonstances) on suit la méthode que voici.

Supposons } pour la première part, tel nombre que nous voudrons I par exemple , 1^5 la seconde part sera i^ plus 54 « c'està-dire ^ 55^; et la troisième sera i/3^ plus 55 plus 78 1 c'est-à-dire • j34^ • Ift totalité de ces parts est 190^.

S*il n'eût été question que de partager en parties proportion* nelles à 1 ^ i et a; la pr£mière part étant toujours supposée 1^, la seconde seroit 1^9 la troisième seroit 2/^, et la totalité reroit 4^, dont la différence avec 190'', c'est-à-dire, 186", est ce qu'il faut prélever pour la somme proposée 6954^^, ce qui la réduit à 6768 ; il reste donc à partager 6768^ en parties proportionnelles j , 1 et 2, selon les règles ci-dessus; et ayant trouvé que la première partie est 1692, on en conclura que les deux autres parts demandées % sont 1746» et 35i6^5 en effet, la totalité de ces trois parts 6954^]

4<>^' [^^ trouve encore chez les Arithméticiens , plusieurs auti^s règles qui ne sont autre chose que lapplication des règles de trois a différentes questions , telles que les questions dï/ittfrét, de change, S escompte y etc.]

Règle d'Intéket.

4o3. On appelle intérêt ce que produit un capital placé a certaines conditions.

"i«. On dît quune somme est placée au denier 20, aS, etc. lorsque pour 20^ ou aS*^, etc. on a i^ de rente; pour avoir la rente que produiroit dans ce cas un capital donné , il faut évidemment Je diviser par le denier^ puisqu'au denier 2 5 , par exemple, on a 25 : i : : capital : rente, ce qui donne rente «=a capital divisé par 25. 1

Si on donnoit la rente et le denier, on voit que pour avoir le capital , il faudroit multiplier le denier par la rente.

Exemple CXII. On a placé 7684*^ au denier 20 : combien aura-t-on de revenu ? Réponse 384^ 20.

Cours de Mathématiques. i63

Exemple CXIII. Combien faut-il placer au denier aS, poiur avoir 6ooof de rentes? Réponse , 150000^

2®. On dît quime somme est placée a 2, 3, 4> etc. p7o , lorsque pour 100^ on a 2f, 3^, 4^ ^^c.

404. La règle d'intérêt s'appelle Jim;?/^^ lorsque Ton n a point égard a l'intérêt de l'intérêt; elle est composée , lorsque ion a égard à Fiotérêt de l'intérêt. Nous ne parlerons pour le moment que de la règle d'intérêt simple.

4o5^. Il entre quatre élémens dans une règle d'intérêt simple , lo. l'intérêt p^'/o, 2«. le capital donné, 3o. le temps du placement, 4®' 1 intérêt du capital /au Lout du temps. De ces quatre élémens, trois étant donnés, on peut toujours trouver le quatrième; ainsi la règle d'intérêt simple présente quatre questions a résoudre.

L'intérêt étant proportionnel au capital, on aura évidemment k proportion suivante :

, 100 : 1 intérêt annuel pVo x le nombre d'années : : le capital donné : l'intérêt du capital au bout du nombre d^années. Delà, on tire : (35o).

4o6. L'intérêt du capital qu bout d^un nombre d^ années donné =^ l'intérêt annuel pVo x le nombre d'années x le ca^ pital donné divisé par loo.

407 .. Ze capital =* 1 00 x l'intérêt au bout du nombre d'années dii^isépar le produit de l'intérêt annuel p^U x le nombre tannées,

4 08. ie nombre d'années = 100 x. l'intérêt du capital au bout du nombre d'années divisé par le produit du capital donné x F intérêt annuel p^!o,

409. L'intérêt annuel pVo«=i 100 x l'intérêt du capital ai^ bout du nombre d'années divisé par le produit du capital donné x le nombre d'années.

Exemple CXIV. On demande l'intérêt simple de 3754^ au

bout d'un an, a 5 p7o par an.

5 X ^75'i On aura (4o6) l'intérêt cherché =a^^ — — 1— «= 187^, 70.

Exemple CXV. On demande l'intérêt simple de 3^54*^ au bout de 6 ans , a 5 p7o par an.

On aura (4o6) l'intérêt cherché = Z i .=3 1126^ 20.

Exemple CXVL On demande combien il a fallu placer k 5 p% par an, pour que cette somme donnât 1126e, 20 d'intérêt au bout de 6 ans.

On aura (407) capital =» 7— r «,3754.

i64 Cours de Mathématiques.'

Exemple CXVII. On demande en combien d*annécs 3^54^ produiront ii2()*^, 20 dmtérêt, h 5pYopar an.

On aura ( 4o8 ) le nombre abonnées cherché =» — ;=— ~ —

= 6 ans. 3754x5

Exemple CXVIII. A combien pVo faut-il placer 3^54^ pour que cette somme donne en 6 ans 1126^^ ao d'intérêt?

On aura (4oq) V intérêt annuel p% = — .^ ^^ — 7^ — = 5.

4ioSiy au lieu de faire entrer l'intérêt annuel dans ces questions, onvouloity introduire le denier^ on trouveroit facilement les expressions qu'il faudroit substituer aux précédentes. Au reste, nous revieudions plus tard sur toutes les questions d'intcrct.

3®. On peut aussi placer sur l'Etat , et le taux des fonds publics indique combien il faut donner pour avoir 5*^ de rente.

On fera donc cette proportion, le taux des fonds : 5 :: le capital donné : la rente cherchée.

Exemple CXIX. Je vois dans les journaux que les fonds sont h 91 f, •; 5 ; combien aurai-je de revenu pour une somme de 24oof ? Réponse, i3o*^, -jg, a très-peu près.

Exemple CXX. A combien p"/o place-t-on sur l'Etat , quand les fonds sont h 90? Il faut ici trouver la rente de 100^3 ^^ dira donc 90 : 5 : : 100 : a: = 5 -. Ainsi on place k 5 ^ p»/^.

Exemple CXXI. A quel taux doivent être les fonds publics , pour que l'argent donne 3 p°/o ?

On aura 8 : 100 : : 5 : j: ==a 62*^, 5o. Ainsi les fonds doivent être a (ia^, 5o.

RilGLE DE C II AUGE.

4 1 1 . L«i rci»lo de rliangc n'est autre cbose qu'une règle d'intérêt dans laquelle il s'agit de déterminer ce que l'on doit donner de profit il \n\ banquier, pour avoir une lettre de change, moyennant un intérêt convenu p7o, lequel prend ici le nom de change. L'opération se fait absolument comme la règle de trois simple.

Ri: G LE D^Es COMPTE.

4i2. L'escompte est la diminution que l'on fait sur un bîHet

prendre

en dehors: L'escompte >.«. ^« — .„«.« av.^j^^*. ^^m. ^^^^ ««* xv»^, augmenté de la valeur de l'escompte ; l'escompte est en dehors lorsqu'il se prOnd simplement sur loo^ Les personnes qid

Coup.s DE Mathématiques. i65

prennent l'escompte en dehors^ ont au bout de Tannée Fintérêt de Imtérêt de leur âtgent.

4'i3i Pbur trouver Fescotnpte en dedans d'uu billet, îl est clair quîl faut foire cette proportion loo -f- escompte pVo : Ves-^ ^onipte p^lo': : le montant du billât: l'escompte dé ce billet,

!^XEMPLE CXXH. Trouver Tescompte en dedans d'un billet de 3oobf pour 6 inois, a 5 p**'opar an. .

L'escompte pour un an étant 5) celui de 6 mois -sera i ; on

aura donc (433) loo -{- i : -^ : : 3ooo^ : x ou 2o5 : 5 : : 3ooo

: j:= "^3^, in. Ainsi on devra donner, pour ce billet seulement, 2926% 83.

4i4* Pour trouver l'escompte en dehors, il est évident qu'il suffit de faire cette proportion, .100 : Vescompte p% : rla somme donnée : l'escompte de cette sommé.

Exemple GXXIII. On demande l'escompte en dehors pour 4o jours a i p7o par mois d'un billet de 543 2^

t'escompte étant de 1 p°/o pour 3o jours ; on aura l'escompte

p% pour 4o jours , en disant : 3o : 4o : : -î : ^ , le quatrième

terme ~ est l'escompte p°/o pour 4o jours ; maintenant , pour

avoir l'escompte du billet, on dira : 100 : 5432 : : ' : x==»36%iii.

4i5. On voit que la règle d'escompte, lorsque l'escompte est en dehors, se fait absolument comme la règle dmtérêt simple.

Règle d'Alliage. '

4 16. Il y a deux sortes de règle d'alliage; dans la première ," qui est la seule Joht nous nous occuperons poitr 'le moment , îl s'agît de trouver la Valeur itoyenné dé' plusieurs soi'tes de choses ,* lorsqu'on corinoît le nombre et la valeur particuUère de chacune.' ' '

Pour feîre cette règle , il faut multiplier la valeur de chaqua espèce de choses par le noraLfe des diôses de cette espèce, ajouter tous 'les produits ensemble, et diviser la soiirtîne parle nombre total des choses de toutes les espèces , le qtiôtient 'sera la valeur lïioycnn'e cherchée. ' ' '

Eli effet, en multipliant la valeur de chaque espèce de chose ar le nombre des choses de cette espèce, od a 'évidemment a valeur'de toutes les choses dé cette espèce; en ajoutait tous CCS produits ensemble, on a donc ia valeur totale de toutes les choses ; donc si on la divise par le nombre total des choses de toutes les espèces, on aura ce qu'elles couteroient, si elles ctoient toutes du même prix, (i'est-k-diré , leur valeur moyenne.

i66 Cours de Mathématiques.

Exemple CXXIV. On a mêlé ensembiie 12 boisseaux de frcv ment a S**, 9 boisseaux dorge a 5f, et 3 boisseaux de seigle à 4^ : on demande la valeur d'un boisseau du mélange. Il est évident que 12 boisseaux de froment k 8*^, valent 96*^

9 boisseaux d'orge a 5^, valent 4^ 3 boisseaux de seigle a 4^ valent 12

donc les 24 boisseaux réunis, valent. ... i53f . Par conséquent chaque boisseau , s'ils étoient loivs du même prix, vaudroient le 24™*^ de i53*^ ou 6^, 37.