PROGRESSIONS
417. Une progression est une suite de termes qui ont entreux le même rapport.
Il y a deux sortes de progressions ; la progression arithmétique et la progression géométrique.
Le premier et le dernier terme d'une progression s'appellent exlrémes»
Progressions arithme'dques.
4i8. La progression arithmétique est une suite de termes, doiît chacun surpasse celui qui le précède <ra en est surpassé dune même quantité qu'on appelle raison.
419. Pour écrire une progression aritlimétiqne , on écrit toutes ]f s quantités sur une même ligne , on les sépare par un point qui s'énonce est à ^ et on met auparavant une barre avec un point dessus et un point dessous , pour marquer qu ij i'aut répéter chaque terme , excepté le premier et le dernier , en faisant précéder du mot comme a la seconde fois.
420. La progression est dite croissante lorsque les termes vont eu augmentant , et elle est décroissante lorsqiie les termes vont en diminuant. Ainsi — 5.7.9.11.13.15.17. etc. est une progression arithmétique croissante, dont Ja raison éist 2 ; on l'écnonce en disant : 5 est à 7 comme 7 est à 9 comme 9 est à II, etc. La progression -f- 100 . 97 . 94 . 91 . 88 . etc. C5t ime progression arithmétique décroissante, dont la raison est 3. On l'énonce comme la précédente.
421. Nous ne considérerons que les progressions arithmétiques croissantes ; d'abord, parce que ce sont les seules dont nous aurons besoin ici , ensuite , parce que les propriétés de la progression arithmétique décroissante se déduisent aisément de celles do la progression arithmétique croissante , en changeant plus en moins j et ajouter en retrancher.
Cours de Mathé MiTigt-cs. i6'j
4^2. La propil^-té fondameniale tle la prof^essîon aritliniétk[uc iToissaiite , est qu'un termi; (jueleoiiqiie est égal au premier jiIms la raison x le nombre de termes qui prôrèJent celui que l'oQ considère. Par exemple , le sixième lerme égalu le premier + 5 ifois la raison.
En efièt, d'après la définition de la progression arithmétique croissante.
iiC 2"^" terme = le t«f -^laraison. Ajoutant toutes ces éga- Ce 3™" li'rme = le a™« -f- la raison. lités ensemi)le , et supprime 4""' iemtc =/e 3""^ + /a rrtwo/i. mant toutes Ips quantités Le 5'"^ lerme =* le ^'"^ -h la raison, qui sont les mêmes de part Le 6""^ ternie = le 5""' + la raison, et d'autre : on voit que le sixième terme = le premier + 5 fois la raison. On démontreroit de même l'expressiou de tout autre terme.
433. Eii général, un terme quelvonque f'gale tiin quelconque des termes pre'ce'dens plus la raison multiplie'a par la différence des rangs de ces termes. Aiiisï le septième terme , par ewniple , égale le quatrième 4- 3 fois la raison.
En effet , d'après la définîtiou de la progression arithmétique croissante, on a
ieSms terme -^le 4""* +la raison. Ajoutant toutes ces éga- Le&^^terme = let'"'^ .\- la raison, lités, et supprimant tous Le •j"^'^ terme =^ le 6/^" -i- la raison, les termes qui sont les mêmes de part et d'autre ; on voit- que le 7'"« terme égale le 4™" + "ifois la raison. Ou démontreroit de même l'expression de tout auti-e terme, au moyen de l'un des précédens.
4a4. Si la différence des rangs de deux termes dans une progression arithmétique égale la différence . des rangs de deux autres termes , ces 4 termes formeront une proportion arithmétique.
En eflet , le sermid terme de ijiaque rapport sera alors égal au premier + la raison x la différence des rangs des deux termes de ce rapport ; donc puisque celte différence est la même dans les deux rapports, chaque conséquent surpasse son antécédent d'une même quantité ; donc il y a proportion arithmétique- La réciproque de cette proposition se démonireroit d'une manière analogue.
4a5. On voit donc que si on connoît le premier terme et la faison pour avoir un terme dont le rang seroit donné, il suffiroit de multiplier la raison par le nomlire des termes qui précède celui que l'on veut avoir , et d'ajouter le produit avec le premier terme.
Par exemple, si on demande le dùi-neuvième terme d'une L4
î68 Cours de Mathématiques.
ivogresjix)a dont le pi^ejuier est 7 et la raison 4? '1 est égal
a* 7 -f- ï8 X 4 ou à 7g.
4^6. Si le preiiiier terme de la progression est zéro, un terme igQiidlconq;ue sera donc égal k là raison multipliée par le nombre des termes qui le précèdent.
- 45^7- l^onv mséier plusieurs mojrens anllimétiques entre deux nombres donnés, il faut retrancher le plus petit nombre du plus granâ^et diriser le reste par le «ombre des moyens que 1 on veut in çéier augmenté de Funité y le quotient sera la raison ; on ra)0ute£a au plu5 petit nombre, on aura le premier moyen ^ rajoutant au premiet moyen., on aura le second ^ etc.
Eu effet, 'X)n appdle moyens.' arithmétiques , entre deux nombres .donnés,. les -lermiçs injiermédiaires dune progression arithmétique:; donc les deux nombres doni^és seroient 1^ termes extrêmes: . . . '
Cela .posé, le plus grand nombre sera; donc ^al au plus petit ,-f»îa. raison, fuultipliée par le nombre des^ j^eiraes qui pré- <:cdent le phis grand; .donc sî <^ plus grc^d'on ];^ti:aiMJie le ]>lus pettt ,; :1e Teste sera la rabon , miidtipliée paple ^lonU^re des termes qui précèdent le plus grand; par conséquent^ en divisant le reste par le nombre des terxnets qui précèdent le plus grand, on aura la raison (80). Mais le nombre -des. termes'; qui ]>réccdcût le plus grand est égal au ji^mbre des moyens T[ue Ton veut insérer augmenté del'uaoîté,: donc pour inserçr , etc.
ExBT^Tp. CXKy. Insérer 6 n;oyèfhs arithmétiques entre 12 et ï5.
Je retranche 12 de i5, il" me reste 3, que je divise par 7,
riombre des moyens -f- i ; j'ai pour quotient ^, c'est la raison
herchée : rajoutant a 12*, puis suQcessîvçmcnt a cliaquç moyen, n aura tous les moyens, et la progression qu'il s'açisspit de former sera -*- 12.12-. 12S. i3-. i3^. i4--i4-^« i5.
. JExçA^p. ,C?^^VL Jfûs^er 4 moyens firithinétiqu^çs entre p et i . iEn opéçjipt ccui^i^ç oi-^essus , pn trouvera ^ q . i . ' | . | i i .
On voit donc quetjtrc deux nombres cfonnés , quelque voisins qu ils soient , on peut insérer autaiit de moyens arithmétiques que Ion voudra.
Progressions Geome'triques.
428. Une progression géométrique estunesuijLe de termes,' «iout cbacwi cKttitieD-t celui q;ui le précède , ou est contenu en lui un m&m liOiubxe de fois que Ion appelle raison.
Le mot raison nest donc pas pris ici dans le même, sens,' tout-çi-&it, que dans les proportions géométriques : là, il signi-
on
Cours de M athéma tiqu.es.». 169
fioitlq quotient Je rantécédeiit , divise par le coDséquent; ici, il indique le quotient du plus grand de deux termes cousec^fs^ (Jivisd par le plus petit.
Qn ecjrit i;Loe progression géométrique en mettapt les quantités ^^ vfx,ç vxême lî^ne, ou les sépare par deux: points qui se -pif^nf^ïffipuXestà^ on met auparavant une hai^XQ avec dçux p,oi9t^.d|iessii3.et deux points dessous , pour marquer qu'en énonçant ]^ jgçoçEession , il faut répéter chacun des termes, excepté le premier et le dernier , en le faisant précéder clu mot comme. ^ 4^^. Uaç progression géc)métrîq[U8 est donc une suite de Fîjppqris ég5iu:;|: d^iis I^^juelle chacun des teiTiies intermédiaires est cs1î?éSP^PJt ^ejt antécedenj. On voit donc que$ion muItipUe ilçu\, pfpgije^lqn^ géométriques par ordre , les produits donneroQt WJ^.:P?'PS'^*^??i^P géométrique (358), il en est de même 4es p^i§j^ce^ et des racines semblables des termes d une proî^^vçs^^i). (36a et 363 ). On voit aussi qu'en multipliant tous les |jç^0i^;^nne, pj-ogression par un pjeme jiombrc, les produits
». 4^&f; fe^ f^o^ess^on géoipétriquc csjt dite croissante , lorsque Ws ^miÇ^ypn); en augmentant, jçt décroissante, lorsqu'ils vont on diininuant j cp^iine les propriétés $ont les mêmes en c]ianfi^Vt^ ^X^t iniiftipli^ en celui dwisé , uqus la cpqsidérçrons tqu)GiVi^fi>po)Di9^ qroissante.
43*".'} Jift^pçÇipriété Xondaineptalc de la progression géométi^qi^.-ci;pjp^î^U;^GS^;quun terme quelconque est égal a,u premier, lU^il^IiliP Par ^ raison élevée a la puissi^nce mfirquéc par. le nt)mbre* des termes qui précèdent celui que l'on considère.
Pai: exej|;[[i^c , le sixième terme égale le premier, multiplié par h \^!^, .çfcyée ^ la puissance 5*^»*^.
Eu qÇfet, d'après la définition de 1^ progression géojj^étrique croissante , on a
Lfs^^^Fte^w^e^ei^^ x la raison. Multipliant toutes ces Ls 3.'^e f^yçie^^le îji^e x la raison, égalités, et supprimant lés J^('\^^^J^r"h^'=*i^ 3™^' X la raison, facteurs égaux de part et £(?. 5î"^/^r/7î,ef=fe4^*^ X la raison, d'autre : on aur^ ^ième Le j[iy?«. terme =« le 5°^« x la raison . tenue égale premier terme^ multiplié par la raison élevée a la puissance 5™^. On démontrçroit d'une manière semblable l'expression de tout autre terme.
43â. £n général, un terpie quelconque égale l'un quelconque des termes préce'dens , multiplié par la raison élet^ée il la puissance marquée par la différence des rangs de ces termes. Ainsi le septième terme , par exemple , égale le quatrième, multiplié par la vaison élevée V la 3™*^ puissauce.
i-jo Cours de Mathématiques.
En effet , d'après la définition de la progression géométrique rroissante , on a
Le5"^*^terme'=^le^^^xlaraison. Multipliant toutes ces Le 6me terme '^le 5™« x la raison, égalités , et supprimant les /e 7*n« terme ^=» le 6™» x la raison, facteurs communs de part nt «autre : on voit que le septième terme égale le quatrième , multiplie' par la raison élev^e'e à la 3™« puissance. On démontreroit de même l'expression de tout autre terme , au moyen de l'un des précëdens.
433. Si quatre termes iune progression géométnque sont en proportion géométrique j la qifference des rangs des deux premiers égale la différence des rangs des deux derniers.
Ep effet , le conséquent de chaque rapport étant égal a son antécédent, multiplié par la raison de la progression éleyée a la puissance marquée par la différence dés rangs des termes de ce rapport, il s'ensuit que chaque antécédent divise par sôA- conséquent , ou chaque rapport de la proportion égalé i, aîrisé par la raison élevée a la puissance marquée par la dîfféiinâce des rangs des termes; or, puisqu'il y a proportion, les <tcux rap-
f>orts Sont égaux ; donc il faut que la différence desTrâlifigs de eurs termcis soit la même dans les deux rapports.
434* Si on eonnoissoit le premier terriiect là ràîsott d'une progression géométrique croissante, pour trouver^ im terme quelconque dont le rang seroit donné , il suffirôrt donè d'élever la raison a la puissance marquée par le nomhre des termes qui précèdent celui que l'on veut avoir, et de multiplier le premier terme par le produit.
Exemple CXXVIL -Trouver le 11™^ terme d'une progression géométrique croissante , dont le premier est 7 et la rsQson 2.
J'élève a a la io™« puissance, j'ai 1024; raiJtipliant 7 par 1024, j'ai 7168 pour le ii^e terme demandé.
435. Si le premier terme étoit l'unité, un terme quelconque seroit égal a la raison élevée à la puissance marquée par le nombre des termes qui précèdent celui que Ion considère.
436. Pour insérer plusieurs moyens géométriques entre deux nombjes donnés , il faut diviser le plus grand par le plus petit , et extraire du quotient la racine du degré marqué par le nombre des moyens que l'on veut insérer augmenté de l'unité : cette racine sera la raison ; multipliant le plus petit nombre par la raison , on aura le premier moyen , multipliant le premier moyen J»ar la raison, on aura le second, et ainsi de suite.
En effet , on appelle moyens géométriques , entre deux nombres donnes, les termes intermédiaires d'une progression
Cours de Mathématiques. t-jr
sëoiu;'lriquc , clotit les deux nombres donnes sont les A^iix. cxtrOnies. Le plus grand de ces deux nombres est donc égal au premier, multiplié par la taisoa élevée à la puissance marquée par le nombre des tenues qui le pi'écèdent{43i). Donc SI on divise le plus grand par le plus petit, le quotient seia la raison élevée à la puissance marquée par le nombre des ternies (jui précèdent le pins grand; et si, du quotient, on extrait la r.idiie de ce degré , on aura la raison ; mais le nombre des tenues qui précèdent le plus grand est égal an nombre des inqyens que l'on veut insérer augmenté de l'unité ; donc pouLiascrec, etc.
I^XEUPLE CXXVni. Insérer 5 moyens géométriques entra i4«t 896; on doit donc avoir:
■^i/i:i'''''niayen ■.ï*'nioyvn:3^ moyen: ^^ niOYe» :^'-'iiif{y^it :Sf)G. flù l'on voit que le nombre des ternies qui précèdent le dernier Sgâi' est 6, nombre des moyens plus 1. On aura donc Sgft é^ale i4' X raison ; donc -^ ou 64 égale raison . Ainsi en extrsysnt ia raison G"'" de 64, on aura la raison. Tour avoir la racine 6""i , comme 6 égale 3x2, je jiuïs me servir de JVxttoction des racines carrées et cubiques (3ii); je prends donc laritcinc carrée, j'ai 8 ; puis la racine cubique de ^ cesla; aiu^ ,2 .est la racine sixième de 64 ou la raison. Avec la raison «■t le premier terme, on trouve aisément tous les moyens, et l'on aura Ja progression ;;- l^: »8 :,56: 112 : 224 ■ 4i^ :89(i.
Remarque I.
437. Celte méthode est sûre lorsque l'on peut extraire exariement du quotient que donne le plus grand nombre divisé par le plus petit, la racine du degré marqué par le nombre des moyens que l'on veut insérer augmenté d'une nnilé , parc« qu'alors on peut avoir exactement la valeur de la raison et de tous les moyens. Mais |.*rsque ce quotient nest paï une miissance parfaite du degré dont il sagit,' la raison ne peut être obtenue qu'à un certain degré d'exactitude, en sorte que les moyens obtenus par les multiplications successives par la raison, seroicnt de plus en plus fautifs, et il ponrroit être fort embarrassant pour des commençaus de les avoir tons â un ^egré donné d'exactitude. Il ne sera donc pas inutile d'exposer ici une métbode qui n'est pas sujette à cet inconvénient.
438, Pour insérer plusieurs moyens géométriques entre deiiJC nombres donne's , on peut se dispenser de calculer la raison; il siiffit 1". d'écrire sur une ligne les puissances successives
1^21 COU&S DE MatHÉM ÀTIQU E8«
du plus grand nombre , depuis la première jusquh celle qui est marquée par le nombre des moy^ens que ton veut insérer incUisii*ement ; a®, décrire au-dessous en rétrogradant les mêmes puissances successives du plus petit nombre, la première étant mise sous la plits haute des précédentes ^ 3^. de multiplier les termes correspondans les uns par les autres; 4®. a extraire de chaque pivduit la racine du degré marqué par le nombre des moyens que ton veut insérer augmenté de Vanité, et de Vat^oir au degré ^exactitude auquel on veut
s4oi
Multipliant ces progressions par ordre (4^9), on aura: •^4*:*7x4^-7*x44:rj3x4*:^4x4«:7îfx4':7<î.
Extrayant la racine sixième de chacjùe terme, jl vient:
-ii- 4 :V^7ir4* :\/7^44 : V^7^4^ r^/^^^' = V^7^ : 7- Donc eh effet, ces 5 racines sixièmes, sont \t% 5 moyens demandcç.
En e^ectuant le calcul , on a :
\ 024 ïnultiplîant les nombres voisins , il vient . 7 1 68
Extrayant la racine- sixième def chaque produit, h moins d'un ioo« près-, ce qui se fait en extrayant d'abord la racine carrée, puis la racine cubique, il vient pour les moyens cherchés, 4,391.... 4,^20 5,2Qi 5,808 6,376, en
sorte que l'on a ; -~-4 * 4>39i: 4,820 : 5,291: 5, 808 : 6,3^6 : 7, et la valeur de chaque moyeu ncst pas fautive d'un millième.
Lorsque I comme cjans le cas actuel, le degré tîe la racine
est un nombre composé, il y a lieu ù des simplifications, par
^exemple,/ 7^x4^ revient ày 7x4 S\ 7^ Xi^ revient à V 7 x4;
y 7^x4^ revient ày 7* x4 » c'est ceque iiousdémoritreronstlans la suite.
439. Si le plus petit nombre étoît i , tous les moyens scroicnt tlonc des racîiirs du degrc» marqué par le nombre des" moyen s i\\v\ l'on veut insérer aiir;menté deruuitc des puissances siîcccssivcs du dernier tenue. Par exemple, si, entre i et 10, on Ji^sl-re jo
moyens géoni'i'"*', ces moyens seront ^7o,y^ioo/\/Tôoo, etc.
COUILS DE MATHÊMATIQn ES. 1^3
îus^a la racine trcatc-iinièine de l'unité suivie de 3o zéros. Toutes ces racines seront Jonc moindre que lo, puisque la racine trente-unième de l'unité suivie de 3i aérosou lo" étant lo, celle de i suivie de moins de 3i zéros , sera moindre tpie 10. Donc CCS racines incommensurables, car si elles étoieut coniraensurables, il faudroit qu'elles fussent les nombres entiers 3> 3, 4ï 5, tt, etc. (a^S) ce qui ne se jicut, puisque les puissance!) de ces nombres ne peuvent jamais se terminer par des zéros. Les puissances de 2 se terminent toutes par 2 , 4't 8, 6; celles de 3 par 3, 9, 7, 1 ; celles de 4 P^f ^et 6; celles de 5 par 5 ; celles de 6 par 6 ; celles de ■] par 7,9, 3, I ; celles de 8 par 8, 4> *) ^i ^^ celles de 9 par 9 et 1.
440- Un raisonnement semblable montrera que, quelque nouiiire de moyens géométriquss que Ion iiisi;re entre i et 10, tous ces moyens sei-ont incommensurables.
44 1- Eli général, si entre deiuc puissances conséculii'es de jo, on insère tant de moyens géométriques que l'on 'voudra , res moyens seront tous incommensurables.
En eifcc , pour insérer des moyens géométriques entre 100 et 1000, par exemple, il suffit d« les insérer eulre i et 10, et de multiplier par 1000 tous les termes de la progression que l'on obtiendra ainsi (4*9); "i^iis tous les moyens entre ï et'io, sont incommensurables; donc leurprodiJt par 1000, sera aussi iacommensuraltle ; donc en effet, tous les moyens géométriques insérés entre 1000 et loooo, sont incoromeusurables, on déroontrcroit la même chose de la même manière, des moyens ' insérés entre Jeux autres puissances consécutives quelconques île to.
44^' Si, entre les termes consécutifs ^une progression géométrique , on insère un même nombre de moyens géométriques, ces moyens formeront, avec les termes de la progression, une seule et même progression arithmétique.
En effet, la raison qui règne entre lés moyens que l'on a insérés entre deux termes consécutifs, se trouve, en extrayant du quotient plus graud de ces termes divisé par le plus petit, une racine du degré marqué par le nombre des moyens que Von veut insérer augmente de l'unité. Or, puisqu'il y a progression , on trouvera par-tout le même quotient , en divisant le plus graud de deux termes consécutifs par le plus petit; ilonc , puisqu'on çxtrait une racine de même degré de ce qi'olïent, on trouvera ime seule et mCme raison entre tous les moyens ; donc , etc.
