I-jS CÔUKS DE MAtnÉlÂÀTIQUJSS
logarithmes , et cet asscnîLIaje est ce c[ue Ton . ap|)èllè une table de logaritlnnes .
450. La caractéristique d'un logarithme est Ik partie entière de ce logarithme ; il est évident qii'èlle est toujours composée d'autant d'unités comme il y a de chiffres, mbins un, dans la partie entière du nombre auquel appartient ce logarithme. Par exemple , 3,69432 appartient a UU nombre flus grand que lobo, et plus petit que loooo, puisque ce logarithme est plus grand que 3, et plus petit que 4; dôtlc puisqde ce nombre est entre 1000 et loobo, sa plartie entière est composée de 4 chiffres.
Usage ïdes Lo&ahithmes.
45 1. L'usage des logarithmes est de substituer raHdltiori à la multîpb'cation , la soustraction à la division , la multiplication aux élévations de puissances , et la division aux extractions de racines.
Multiplication.
452. Pour faire la multîpîication par logarithmes, on prerià le logarithme du multiplicande et celui au miiïtipUcateur , on les ajoute ensemble , et la somme est le logaftikme du produit. On cherche dans la table le nombre côrre^anâMtjet on à le produit.
En effet, on a évidemment i : multiplicateur :: muitijÀicande : produit (346); ces quatre nomnres étant en proportion géométrique, leurs logariûimes sont en proportion ariàïniétiqne (345 ) , ainsi logarithme i . logarithme du multiplicateur : logarithme du multiplicande : logarithme du produit; donc (343 ) le logarithme dit produit égale le logarithme ih multiplicande + le logarithme du multiplicateur -^ le logarithme de I ; donc, puisque dans le système de logarithmes ordinaire, le logairithme de i est zéro, le logarithme du produit égaie le logarithme du multiplicande '\' celui du muliipucateur.
Exemple CXXIX. Multiplier 37 par 3 , je prends le logarithme de 37 , c'est i, 568202
celui de 3, c'est. . 0^477^^^
la somme doniieV 2,o45323
C'est le logarithme du produit; le cherchant dans la table, je vois qu'il répond a 1 1 1 , ainsi 1 1 1 est le produit de 3 7 par 3. C'est ce qit'fl est aisé de vérifier.
ilevàî'ions
Couss DE Mathématiques.
Élétfaiions aux Fui
4^3. Pourcarrei-un nombre par logarithmes, il Juiit prenâi-e le logarithme de ce nombre et le multiplier par •» ; te produit ett le logarithme dit carré , cherchant le nombre correspundont , on a le carre'.
En efl'ct , pour carrer uti nomlije sans logarîibiQe, il finit le muluplit'i' par lui-même (320); donc en opérant par logarithme, il faut ajouter son logarithme à lui-mènie , ou, ce qui revient itu incme, le multiplier par 2 (^^2),
454. Pour cuber un nombre par logarithmes, il Jaut prendre U logarithme de ce nombre et le multiplier par 3; le produit est le logarithme du cube. Engciicrai, pour éleferun nombn: aune puissance quelconque par logarithmes , il faut prendra le logarithme de ce nombre et le multiplier par le nombre gui man/ue le degré de la puissance à latjadle on veut l'élever; le produit sera lo logarithme de cette puissance, cherchant le nombre correspondant, on aura êette puissance.
En effet, une puissance quelconque d'un nombre, est le produit d'antantdc facteurs égtiux à ce nombre, qu'il y a d'unités Jans le Domlire qui marque le deerc de la puissance ( 40 ) ; donc le logaritlune de cette puissance est la somme d'autant de logarithmes égaux à celui de ce nombre, qu'il y a d'unju-s dans le degré de la puissance (452), ou, ce qui revient an même , il est le produit du logariiiime de ce nomlti-e par le ^d«ré de U puissance.
^^^^^ Extractions des Bactnes.
^HPBSS:. Pour extraire la racine carrée d'un nombre par loga- ^ natmes , il faut prendre le logarithme de ce nombre et le diciserpar 2,- le r/uotient sera l& logarithme de la raciue carrée , cherchant le nombre correspondant , ou aura celle racine.
En effet , le logarithme du carré est double du logHiitlmic de sa racine (4^^) î donc le logarithnie de la racine est la moitié de celui de son carré.
456. Pour extraire la.racîne cuhiijue d'un nomhepar logarithmes , il faut prendre le logarithme de ce nombre et le diviser par d; le quotient est le logarithme de ta racine cubiifue. En général, pour extraire la racine d'un degré' quelconque tCan nombre , il faut prendre le logarithme de ce nombre et le diviser par le nombre qui marque le degré de la racine, un aura le logarithme de la racine, cherchant le nombre co]Teiponâant, on aura, cette racine.
Arithmétique. M
1*^8 Cours de Mathématiques.
En effet, en élevant la racine a cette puissance par l(^arilhines , il faudroit multiplier son logarithme par le degré , cç qui donneroit le logarithme du nombre proposé (454); dona^ SI on divise le logarithme du nombre proposé par le degré de la racine, on aura le logarithme de cette racine. Ainsi, si 1 oa demande la racine 4™* de 8i, on divisera le logarithme deSi qui est 1,908485 par 4, et l'on aura 0,4771^^1 pour logarithme de cette racine ; ce logarithme répond ai, ainsi c'est 3 qui est la racine 4™** demandée.
Division.
45*7 . Pour faire la division par logarithmes , il faut prendre le logarithme du dii>iseur et celui du dii^idende, retrancher le logarithme du dit^iseur de celui du dividende ^ et le reste sera le logariûime du quotient, cherchant le nombre corres^ pondant f on aura le quotient.
En effet, il est évident que le diviseur : i :: le dipidende : quotient (346) , ces quatre nombres étant en proportion, géo métrique , leurs logarithmes sont en proportion arithmétique ; donc logarithme du di^^iseur • logarithme 1 : logarithme du dividende .logarithme du quotient (44^) y ^ûisi logarithme du quotient égale logarithme du dividende -f- logarithme i — logarithme du diviseur. Donc puisque Ion prend toujours zéro pour logarithme de i,on aura logarithme du quotient «gale logarithme du dividende — logarithme du diviseur.
^autrement. Le diviseur x le quotient égaie le dividende (i II) -, doue le logarithme du diviseur -(-celui du quotient égale le logarithme du dividende (452). Donc si, du logarithme du ilividcude, on retranche celui du diviseur, il restera le logarithme du quotient.
Proportions.
458. Pour trouver, par logarithmes y te quatrième terme itune proportion géométrique , dont les trois premiers sont connus j il faut ajouter ensemble les logarithmes des deux moyens j et de leur somme retrancher le logarithme de l'extrême connu , le reste sera le logarithme du quatrième terme , diercitant le nombre correspondant, on aura ce quatrième terme.
Jîn effet, les logarithmes de quatre nombres en proportion ^, métrique, étant en proportion arithmétique (445), on a logarithme du premier terme . logarithme du second : logarithme du troisième . logarithme du quatrième; donc le logarithme du quatrième terme égale la somme des logarithmes des mojens *— le logarithme du premier terme (343).
CoiiKS DE Mathématiques. i-jg
*Oii voit de mpnie que le logarithme de l'un des moyens
lie la somme des logarithmes des extrêmes — le logarithme
Poutre vioyen ( 34^ }■
^«Exemple CXXX. Trouver le <juntricrae terme de la pro-
ioo 8 : 9 :: i6 ; X,
f/)garilhme g. ; o,(j%^^'i
Logarit/ime iG , . 1.204^*^0
Somme. . ^. 3.i583fi3'
Logarilhm^^^ o.goSopf»
Qui réjfcd a i^^m^^^^^ -luatriême terme thrrchn.
'TSSI
45g. Les logarithmes deW^Ê nombres en progression géométrique, sont en pji^^^^ arithmétique. Et récipivquemenlj si pliùsiein^^K^Ëntcs sont en progression arithmétique, tes nomJ^^forrespSda/is sont en progression géume'trique. ^^^^^^ M
Eu efi^^^B^nGiHbre^y^ en progression géomctrîc[up , rhaC^^^^EdùjlâaflHHKédent donne le même qtiriliciit ; doa^^^^^^^^^^^Bipi^thme de chacun au logarithme du précenenRer^par^toiit la même (45^); donc en éfTct, tous tes logarithmes sont en progression arithmétique ; la récjproijue se démontre d'une manière semhlable.
460. Pour trouver un tei-me quelconque d'une progression géométrique croissante, dont le premier terme et la raison sont donnés, il suffit donc de trouver le terme de méinp. rang dnns une progression artthme'tique croissante, dont /rî premier terme est le' logarithme da premier terme donné, et dont la raison est le logarithme de la raison, ce qui se fait en multipliant le logarithme de la raison par le nombre des termes qui précédent celui que l'on veut avoir, et ajoutant le produit auec te logarithme dâpremier terme : on a le logarithme du terme cherché.
46'- Pour insérer plusieurs moyens géométriques par log. entre deux nombres donnés, il faut retrancher le log. du plus petit nombre du logarithme du plus grand, et diviser le reste par le nombre des moyens que l'on veut insérer augmenté de tunité, on a le logarithme de la raison géométrique ; ajoutant ce logarithme au logarithme du plus petit nombre , on a. te logarithme du premier moyen, l'ajoutant à celui-ci , 01* a M a
igo Cours db MATaÉMAtiQvBs.
lé logarithme du second et ainsi de suite , cherchant ensuite les nombres qui correspondent à tous ces logarithmes , on a ^ les moyens géométriques demandés. Cela est facile k âémontrer d'après c(f qui procode.
Exemple ÇXXXI. Insérer 5 moyens géoniÀri^iies entre 3 et 192 , par logarithmes.
Logarithme 192. ... 2r.2833or Le logarithme delà rai- Logarithme 3. . . . 0.4771^1 son étant o.SoioSo, on
T» ' ' ' ' trouvera facilement le 1<^-
Reste. ....... .1.806180 rithme de chaque moyen, et
6« ou loganth. raison. o.3oio 3o p^^ suite tous ces moyens ;
et Ton aura , -^ 3 : 6 : 12 : ^4 • 4^ : 9^ • ^9^^* Nature des Logarithmes.
46^2. Les logarithmes de tous les nombres commensurables
sont incommensurables j excepté ceux des puissances de io.
En effet , soit 3 1^ ^ un logarithme coimnensurable quelconque ,
ce logarithme est évidemment celui de 1000 x là racine i3™** de l'unité suivie de 1 1 zéros (452 et 456). Cette racine i3™« ne peut être un nombre fractionnaire (275), et elle ne peut être aussi un nonabre entier, puisqu étant plus petit que 10 , il fàudroit quelle fût un des nombres 2, 3, 4i 5, 6, 7, 8, 9; ce qui ne çeut être, puisqu aiiciine puissance de ce» ncxmbres ne se termine par des zéros (4^9) ^ àouc ce logarithme est celui d'un nombre incommensurable, ^nsi tout logarithme entier est celui dune puissance de 10, et tout logarithme cornmensurable est celui de la racine d'ime puissance de i o. Donc tout ntombre qui n'est ni piussance de 10 ni racine dWe puissance de 10, a un logarithme incommensurable.
463. Ainsi y^ 7, par exemple, a un Ic^aridune iaccnnmensurable.
En effet, si logarithme %/ 7 ^^^^ commensurable , comme en le multipliant par 11 on a log. 7 (4^4) > ^ sensuivroit que ce dernier seroit aussi commensurable , ce qui uest pas (462).
Calcul des Logarithmes des Nombres.
464' f^n petit s'y prendre de la mâiière suivante pour calculer les logarithmes. Supposons, par exemple, que l'on veuille le logarithme de 2 ; jiusèi^e un moyen proportionnel géométrique entre 1 et 1 o , en les multipliant Fun par l'autre et extrayant la racine carrée du produit, j'ai 3, 1 6238, Le log. de ceuômbre seru 0,5 ^ moitié de la somme du logarithme o et i des nombres 1 et 10; 2 étant entre ce moyen et Funité, jfinsère un nouveai
F Cours de Mathématiques. iHi
I moyen géométrique ciitrc ces «leini-ci. j'ai 1,77828, son loga-
f rittune sera o,35 , moitié de la somme du lognriihme de 1 et du
f jiferaier moyen. Ên contiiniaiil cette iuserlioii, ii esl évident
que Ton trouvera des moyens qui approcheront de a de plus
en p\a9y comme on ie voit dans le talikaii ci-uprès, Lorsqu'on
en aura trouvé deux entre lesquels a sera compris, el dont
les logaiÏLhijies ne difTércront pas l'iin de l'autre daus le uoriibre
(les cbifFres décimaux auquel on veut se homer, on en conclura
qu'à ce degré d'exactitude, le logarithme de 2 se compose «le
la partie commoae aux deux logarithmes. Ainsi le logarithme
de a est o,3oio3, à moins d^un looooo*^ près.
Indication des calads relatifs h la recherche du logarithme de 3.
Numéro dcâ Moyens.
vT
<ie'" moyen . . . .
moyen x 2= moyen.
moyen X 'i"
moyen.
moyeu x4''
moyen.
Vi^
moyen x 5
moyen.
moyen x6«
moyen.
moyen x 7'-
moyen.
Vr
moyen x 8
moyen.
moyen x 9"
moyen.
moyen xic
Vs.
moyen x i
«mï"".
■^moyeux
a" mi"'°.
« moyen x
V' 1 ae nxoyen x
4« mf".
y 1 2" moyei y ta'' moyeux ifism'™.
Y 11" moyeux 15" m''".
y ij"-' moyen x ï^" mJ'".
y iS'' mnycnx ly m^'".
l8z CODRS DE MATHÉXÀTIQtrCa;
465. On s'y-t>reiidroit de la mcme manière pour 3 et -j. A l'égard de 5, son logarithme égale celui de lo — celvî de a, aiusi il <^st connu, puisque celui de a est connu-, il est visible que l'opcratian se réduit a calculer les logarithmes des oMobres preiiners, pacce que ceux des autres nombres s'en déduisent par de simples additions (45^3>
466. On ramènera aisément le calcul des moyens k celui (les nombres entre i et lo : si on demande le logarithme de 3^, par exemple, on cherchera celui de 3,7, comme on a dit cidessus, ï {goûtant le logarithme de 10 qui est i , on aura celui de 37. Pour celui de 317, on chcrcheroi^ celai de ^,17, et ou ajoutcroit a à la caractéristique, etc.
LOGAHITHM
Des Diffékejice 465. On appelle différences premières ou simplement dy^erences des logarithmes des nombres consécutifs les restes que l'on trouve en retranchant le logarithme de chaque nombre du logarithme du nombre suivaat, et àifférencet secondes, les restes que l'on trouve eii retranchant chaque dififérence première de la précédente, comme on le voit dans le tabteau ti-dessous.
JN omlires.
LogartlLmes.
DifféreDces premières.
secondes.
o.6oao6 o.%8))7 0.77815 0.84510
o,o!.8o3 o,oi„3 o.oiaaS
Irfs différences des diScrences secondes, s'appellent ^j^'rf lices troisièmes , les diflercnces de celles-ci , différences qua.triî-mes , etc. Nous n'avons besoin de considérer ici que les (lidereuccs premières et les différences secondes.
s premières.
46^. Les différences entre tes logarithmes des termes Sune fro^ression arithm^ique croissante vont en diminuant.
Kn effet, chacune de ces différences est le logarithme du tapjwrl *lc l'un des termes au terme précédent; or, chaque lormo ôlant égal au précédent -|- la raison, ce rapport vaut i ■+- h raison dîvi*»»c par le terme précôtleni : donc a mesure que les t«nK\i augmentent, ce rapport, en>ar cwuséquent son U^a-
Cours vv, MATaÉMATiQVEs. i83
rkhrae diminue ; soit, par exeojple, -j- 1 1 . 1 5 . 19 . aS . 27, etc. on a évidemment 1 5 =« 1 1'-|-4 , 19 =« 1 5 -f- 4 x ^3 =:^ 19 -f-.4> ^tc, donc 'i = I + i , i9 = r -f i > - ^ i +• -^ > etc. où Ton voit
II * Ti ' i5 • i5-'" ig >9
que tous ces rapports vont en diminuant; donc les différences logarithme 1 5 — logarithme 1 1, logarithme 19 — logarithme 1 5 , etc. qui eu sont les logarithmes vont en diminuant.
469., Il suit de-la que les différences, des. nombres entiers consécutifs, "vont en diminuante '
470, La différence des logarithmes de deux nombres égale la somme des différences des logarithmes conse'cuUp, de tant de nombres que Von voudra, intermédiaires entre les deujp premiers ^ ranges entreux par ordre de grandeur.
Soient, par exemple, les noratres 4>4-> 5, 6, 11.
Logarithme 4 i —logarithme 4 ^n ajoutant les différences. T .1 c» * 1 • 1. / , des logarithmes consécutifs : Logarithme 5 -logarithme 4 i ^^^^^ ^^ 1^ ^^^ ci-contre;
Logarithme. 6 —logarithme 5 fl est évident que la. somme Logarithme 11 —logarithme. 6 se réduira, en supprimant les quantités qui se détruisent^ a logarithme 11 — logarithme 4-
47 1 . Dans les nombres de plus d'un chiffre composés d'une quantité déterminée de chiffres, il se troui^e toujours des nombtes consécutifs, dont les logarithmes différent de moins dune demi-unité décimale de l'ordre marqué par le nombre des chiffres.
En effet, le logarithme de 98 est 1,99123 , celui de 99 est. 1,99564; donc la différence de ces deux logarithme est o,oo44i> quantité moindre que o,oo5 , la proposition est donc vraie pour les nombres de deux chiffres.
Il resuite de-la qu'elle est vraie pour les nombres composés, d'un plus grand nombre de chiffres : considérons, par exemple,
les nombres de n chiffres. On a évidemment s§2££2£=a §9; donc
logarithme 9900000 — logarithme 9800000 = logarithme 99 — logarithme 98., quantité moindre que 0,00 5 : en sorte que la somme des 1 00000, différences entre les logarithmes consé-, çutifs de 9800000 a. 9900000 est moindre que o.oo5; si ces différences étoient toutes égales, chacune d'elles vaudroit o,ooooooo5; donc puisqu'elles sont inégales, il y en aura de plus petites que cette quantité , car si elles étoient toutes plus grandes, leur somme seroit plus grande que o,oo5. Donc parmi les nombres de 7 chiffres, il y en a de consécutifs dont les logarithmes^ ne diffèrent pas d'une demi-unité décimale du 7™® ordre. La démonstration seroit semblable pour tout autre nombre de cLiffres. M 4
i84 Cours de Mathématiques.
47a. Pour tous les nombres compoÉés Jtune quantité de'ter^ minée de chiffres , la plus grande différence de deux logaritkmes consécutifs est moindre que^S unités décimales de l'ordre marqué par le nombre des chiffres.
, ConaîdéronSy par exemple , les nombres de 6 chiffres ; parmi ceux de 5 ^ il s'en trouve de consécutifs dont les logarithmes ne diffèrent pas de 5 unités du 6™<^ ordre (47i)« D^c, puisque les différences vont en diminuant y toutes celles des fiomhves dit 6 chiffres sont moindres que 5 umtés du Çfi^ ordre. L^ dÉamnlrat tion seroit sembk^le pour tout autre nono^e.
Logarithme limite.,
4i3. Il suit de ce qui précède que, lorsqu'on chereke le nQfiwre qui répond à un logarithme , on nest pas sûr de. tai^oir, à moins d^une unité près , lorsque ce nombre doit être composé â^ autant de chiffres çcijnme il y en a dans la partie décimale du logarithme. . * ■
En effet ^ comme il se trouve parmi les nombre^ composé^ de cette quantité de chiffres des nombres consécutifs , dont les logarithmes ne diffèrent pas d'une demi-unité décpnale du dernier ordre, il s'ensuit qu'il peut se trouver plusieurs logarithmeâf consécutifs égaux dans les chiffres auxquels l'approximation es^ portée; il y a donc incertitude sur le nombre correspondant : il est évident que l'incertitude augmente a mesure que la quantité de chiffires du nombre augmente, le npi^bre des chiffres décimaux du logarithme restant le même,
f\n\. Nous appellerons logarithme limite relatif k une table ^^^ un ibg. tel que l'on puisse avoir, k moins d'une unité près, le nombre qui répond a ce. log. et k tous ses inférieurs ; mais que' l'on ne puisse pa3 , en général , répondre a ce degré d'exactitude des noiul)res qui répondent a des logavithmes supérieurs.
475. Pour former le log, limite relatif à une toile ^ prenez ■pour caractéristique le nombre des chiffres décimaux , moins un y du logarithme, et pour partie décimale le log, de 4 qui est 0.602060 *. yous aurez le logarithme limite demandé **.
Ainsi pour les tables de Lalande et de RÎr Reynaud , le log. limite
* CPesi le double du logariibme ds z 0,301030 , que tout le monde sait de rocmoire.
"** Ou peut cependant avoir assez souvent, à moins d^une unité près, le nombre qui répond au logarithme, lorsque la partie décimale est plus grande ffue le logarithme de 4 : nous avons choisi celui-ci à cause de la facilité de le retenir, ci parce quM est certain que Ton aura, à moins d^une unité près, le nombre qui répond à tout logariibme moindre -, en général , il arrivera souvent que Ton aura, à moins u''une uniié, le nombre qui répond à: un loga-' liihme moindre que le nombre des chiffres décimaux du logarithme j^igaai» nous avons prOfécé prendcc une limite plus ïc^scirce et plus &ûrc.
Cours de Ma thé matiqbbs. i85
«t 4-^t)2oG. l'our celles a 6 décimales, c'est 5,6oao6o. Pour celles de Callct, 6,6020600. Pour celles à 1% décimales, ce s croit 1 1 .6oao6ooi 000. ( On peut mettre ici des zéros pour les derniers chiffres).
En effet, logarithme 4' — logarithme fyo = 0,010^3, ainsi logarithme ^1 — logarithme 4» est plus grand que 0.01 , d'où on coDcliu-a aisément en raisonnant comme dans le n" 471» que, pai-uii les nombres qui commencent par 4f> ■ il s'en trouve dû consécutifs dont les logarithmes diS'èrent de plus d'une unité décimale de l'ordre marqué par le nombre des chiffres : donc si le nomlire des chiffi-es est égal a celui des chiffres décimaux d« logarithme, parmi les logarrthmea consécutifs des nombres ctMumençans par 4o, et dont le logarithme, par conséquent, ne sera pas moindre que te nombre des chiffres décimaux — I suiyi du logarithme de ^, il s'en trouvera de consécujfs
rdifféreiont de plus d'une unité décimale du dernier ordre ; ic, puisque les difl'érences diminuent "a jucsure que les nombres augmentent, les logarithmes consécutifs qui ue surpassent pas celui qne nous venons de déterminer, différent de plus d'une uuilc du deraier ordre ; donc on a toujours le nombre correspondant , 'a moins d'une unité près.
476- Au de-là de celte limite, on ne peut plus compter, (n général j à moins d'une unité, sur le nonibre trouvé, quoique Von puisse encore y compter pour quelques nombres; si on veut connoître la limite de l'erreur, il faut retrancher le logarithme limite relatif 'a la (aljle du logarithme proposé ; le nombre qui répond au reste sera la limite de l'eiTCur qui peut affecter le nombre du logarithme proposé.
Exemple CXXXII. Quelle est l'nrrcur qui peut résulter sur le nombre qui répond a 9,4^3 1; 8, du peu de décimales decelog.ï Le logarithme limite relatif à ce logarithme est 4,60206, le retranchant du logarithme proposé, il vient 4,86072 qui répond à moins de ^aS^oionne peut donc pas compter sur les 5 deriiiers chiffres. En effet, le nombre proposé est le produit du (lombre qui répond à4-6o3o6, par celui qui répond à 4,860-5 2 ; l'erreur sur le premier est au-dessous de i , le second est moindre que 72570; donc l'erreur sur le nombre cherché est moindre que i x 72570, ou moindre que 7-2570. On ilémontreroit de même la règle doiiuce dans tout autre cas.
4771 On voit donc que, pour savoir si on peut compter à un degré d'exactitude donné sur le nombre qui correspond à un logarithme donné, il faut ajouter a ce logarithme celui du degré d'cxacliludc; sî lastfnmie lic surpasse pas k logarithme limîle.
elle le sur
186 Cours de Mathématiques. ..
on peut compter sur le nombre trouvé ku degré donné , si rpasse, on ne peut compter sur le nombre trouvé erreur moindre que le nombre qiii répond a l'excès cle la somme sur le logarithme limite. Cela est facile k démontrer d après ce qui pw'îcède (476)«
Exemple CXXXIII. Peut-on répondre , anioinsd*un iooo« pri»s, du nombre qui a pour logarithme o,3oio3?
AjoutaDt a ce logarithme celui de 1000 qui marque le degré d'exactitude, il vient 3.3oio3. Cette somme étant moindre que 4-6o2o6 logarithme limite relatif a la table , il s'ensuit que le nombre a qui répond à o.3oio3 est exact , a moins d'un millième près. On verra facilement qu'il ne le seioit pas, a moins d'un loooooo*.
. Exemple CXXXIV. On veut avoir, a moins June ligne près, le nombre de toises qui répond au logarithme dont les premiers chiffres sont 4-69327. Pour l'avoir a ce d^ré d'exactilude , avec combien de chiffres décimaux faut-il que les logarithmes de la table soient calculés?
Puisqu'il faut 864 lignes pour faire une toise, c'est donc a JUioins d'un 864™^ que l'on veut le log. du nombre cherché : ajoutant le logarithme de 864 au logaridune donné 4-69327 , il vient 7.62978. 11 faut donc que le logarithme limite relatif a la table ne soit pas moindre que cette quantité, c'est-a-dire ,
Ju'il doit être au moins 8.60206 Donc il faut que les log, e la table aient au mokis 9 chiffres décimaux pour que Von
puisse compter, a moins d'une ligne près, sur le nomiire de
toises qui a pour log. 4-69327
Exemple CXXX^^ On tit)uve 2 dans la table pour le nombre
qui a pour log. o.3oio3. A quel degré d'exactitude peut-oa
compter siu* ce nombre?
Le logarithme limite est ici . . • . 4*60206
Aulogaridime donné. . ., o.3oio3
On peut ajouter sans surpasser le log. limite. . • 4-3oio3 Ce log. répond a 20000, ainsi en prenant 2 pour le nombre
qui répond a o.3oio3, l'erreur ne surpassera jamais ~L-.
Exemple CXXX\1. On trouve 4^-ï9'* P^^^ 1^ nombre qui a pour loirarithme 4.62523. A quel degré d'exactitude peut-on compter sur ce nombre?
En retranchant de ce lorarîthme le logarithme limite, il reste 0.02317 : ce logarithme n^poud a i et une très-petite fraction , on a donc le nombre doiit il s'agit , a une erreur moindn» que cotte quantité, en sorte qu'il est possible qu'il soit a moius d'une imité près. Ou voit que le log. limite n'est pas
Cours de Mathématiques. 1^87
\me limite exclnsive pour tous les logarithmes supérieurs, mais seulcmeut imé limite au deJa de laquelle on n a plus en général la certitude que le nombre trouvé soit a moios d une unité près.
Différences secondes,
478.. La. différence seconde des logarithmes de trois nombres conse'ôutifs est la diffe'reiice première des logarithmes de deux nombres consécutifs ,. dont le plus grand est le carre' dif, nombre intermédiaire.
Ainsi la différence seconde des logarithmes de 46, 4 7 et 48 est la différence première entre logarithme j47* et logarithme
En effet, les différences premières des logarithmes de 4^» 47 et 48,^ expriment évidemment log. i^ et log. 4? : la différence de ces deux différences, ou la différence seconde est donc logarithme |^ — logarithme |? , ou log. ^^ divisé par ^ \ ,
^^ i^o- w ,Q , OU log. 7- r-Tz — ; — 1 ou log. -rr — t
ou enfin bgarithme 47^ — logarithme ( 47 ^ — i ). Il est évident que cette démonstration a lieu , quels que soient les nombres consécutifs que l'on considère.
479. Le carré d'un nombre n'ayant jamais moins du double — I de chiffres que ce nombre , et la différence première de deux log. consécutifs étant toujours moindre que 5 unités déciiXiales de l'ordre marqué par le nombre des chiffres des nombres correspondans , il s'ensuit que la différence seconde de trois logarithmes consécutifs est toujours au-dessous de 5 unités décimales de l'ordre marqué par le double — 1 du nombre des chiffres des nombres correspondans.
Ainsi la différence seconde des nombres entre 1000 et toooo, c'est-a-dire , des nombres de quatre chiffres est moîodjre que o,oooooo5, celle des nombres de trois chiffres, ou entre 100 et 1000, est moindre que o.ooooS, etc.
4bo. On veut considérer deux différences premières consé^ cicti^es de logarithmes comme égales, toutes les fois que le nombre des chiffres des nombres correspondans à tes logarithmes SURPASSE la moitié du ( nombre + i ) des chiffres décimaux de ces logarithmes.
Ainsi avec des tables oii les logarithmes ont 5 décimales, deux différences premières consécutives sont censées égales, lorsque les noial^res correspondans aux logarithmes n'ont pas moins de quatre chiffres ; il en est de même pour les tables a 6 décimales : pour celles à 7 d,écimales , il faut que les nombres
^88 Cours de MATfirÉif atiqv£s«
n'aient pas moins de cinq cbifires , pour celles a 20 décimales , il faudroit quils n'eussent pas moins de onze chiffres , etc.
•En effet , la différence seconde de trois logarithmes consécutifs , est alors moindre que 5 unités décimales de Tordre marqué par deux fois la moitié du ( nombre + i ) des chiffres <ïécimaux des logarithmes — i (479)> c'esl-a-dire , moindre que 5 unités décimales de Tordre inférieur au nombre des chiffres décimaux du logarithme ; donc cette différence seconde peut çtre néghgée dans Tordre décimal auquel sont calculés les logarithmes , et les deux différences premières consécutives peuvent être regardées comme égales.
. 48 1 . Lorsque deux différences consécutUfes de logarithmes sont e'gales , si on insère entre les nombres consécut^s correspondans aux logarithmes plusieurs moyens arithmétiques, les différences des logarithmes de ces moyens seront aussi égales. Soient, par exemple , les nombres 2'j43', 2'j44 ^^ ^74^ > dont çn suppose que les log. sont tels que la diÇereûce seconde de ces log. soit négligeable ou que leurs différences premières soient égales. Si on insère entre 274^ et 2.744 qii^itre moyens arithmétiques , et 4 aussi entre 2^44 ^t ^1^ > j^ ^ î^^ ^^^ d^^" rences entre les log. de ces moyens seront égales dans Tordre, décimal auquel on se borne. Car si elles ne Tétoientpas, comme les différences des log. des. nombres en proportion arithmétique croissante diminuent continuellement (468), celles des log. jdes moyens entre 2744 ^^ 2745 séroient toutes moindres que la plus petite de celles des log. dés moyens entre 574^ et 2744; 4on€ la somme des différences dçs log. des moyens entre 2744 et 2745 , seroit moindre que la somme des différences des log. des moyens entre 2745 et 2746. Or, cela ne peut être, puisque la première somme vaut log. 2745 — log. 2744(470)7 î^^e la seconde vaut log. 2746 — - log. 2745 , et que ces deux dernières différences sont , par hypothèse , égales dans Tordre de décimales auquel sont calculés les logarithmes j donc en effet, lorsque deux différences , etc.
Des dfférences des logarithmes proportionnelles aux. diffé^
rences des nommées.
482. Les différences des noxabre^y lorsqu'elles ne surpassent pas V unité , sont proportionnelles aux différences de leurs . logarithmes, lorsque la quantité de chiffres au nombre surpasse la moitié du ( nombre + 1) des chiffres décimaux des logarithmes île la table.
En effet, soient 2743, 2743^, 2744 > les nombres dont il
Cours de Mathéhatiques. tgg
s'agît, et su[)posoiis que les tatles n'aient ({ue 5 décinioles. Alors la diScreace seconde des logarithmes 2743 , 27^4 et 2745 étant néj^Iigeable (4'*o), les différences premières de ces logarithmes Seront censées égales , et par conséquent, si on monte de 374^ k 3744 *^'^ 7"" c'* 7"'" ï ce qui revîendi'olt a insérer 6 moyens aritïiméliqucs entre ces deux nombres, les diÛ'érences des log. de ces moyens seront toutes égales (\8i). Or, le logarithme dte 274.4 surpasse celui de 3743 de 7 de ces diiférenccs (470)» et celui de 2743 ' surpasse celui 2'343 ^^ ^ de ces différences; donc logarithme 2744 — l*^- ^74^ '• ^"S- ^74^ - — '•*§■ ^74^ :: 7 :.2 ou : : I : i, d'où 1 : ^ :: log. 2744 — ^og. 2743 : log. 2742- — log. 274-ijc'cst-à-dîrc, 2744 — 2743: 2743 i — 2743 ;: log. 2744 — log- 2743 : log* ^743- —log- 2744-
483. Si le logarithme étoil donné , il est clair que , pour que la différoice des nombres fût pi-oportionudlc 'a la ilifference des l(^:aritbnies , il faudroit q«e la caractéristique augmentée de 1 surpassât la moitié du (nombre + 1 ) des chiffres décimaux (le la table , ce qui revient à dire qu'iV faut ijue la caracttiristi^ue sukpasse la moilie du {nombre -^ i) des chiffres décimaux de la table.
484- Ainsi avec les tables de Lalande 011 de M^ Reynauil, il i"ant que le nombre ail au moins quatre cliifl'rcs, ou que le logarithme ait au moins 3 pour caractêristîqne. Avec les tables de Callet qui ont 7 décimales, il faut que le nombre ait au moius cinq chiffres, ou que le logarithme ait au moins 4 po""" caractéristique. Avec des tables à 60 dêcûnales, il faudroit que le nombre eût au moins trente-un chiffres , ou que la caracié- TÎstiqtle du logarithme fût au moins 3o.
Nombres dost les Logarithmes me se trouvent poiht DAMS LES Tables,
4S5. Il y a trois sortes de nombres dont les logarithmes no setrouveut point dans les tables; i". les nombres entiers qui passent les hniites des tables; 20. les nombres entiers joints aux fractions; 3». les fractions.
1". Nombres entiers qui passent les limites des tables.
486. Supposons qu'il s'agisse de trouver le log. de 28417, BU moyen des petites tables de Lalandc ou de M'" Rcynaut^.
Le nombre proposé revient à 2841,7X10, ainsi son log. ■égale log. lo + log. 2841.7. On connoît log. \V-. 10, il faut ■doue trouver celui de afl4",7. Nos tables u'nyaut que cinq
igo Cours de Mathématiques.
Ghiinres <îécîlnaux, les différences des nombres de quatre chiffres, lorsqu'elles ne surpassent pas l'unité , sont proportionnelles aux différences de leurs logarithmes (482); ainsi je prends dans la table la diffôrence entre le logarithme de 2841 et celui de 2842, laquelle est i5 unités décimales du dernier ordre; et je fais cette proportion,
I Différence de 2842 k 2841 : 0,7 difEérence de 284^,7 * 2841 :: i5 unités décimales du dernier ordre, différence des logarithmes des deux premiers noml)res : x différence des log. des deux derniers (482). Cette différence vaut donc 10, 5 unités décimales du dernier ordre, ou simplement. . . 10 unités décimales du dernier ordre j donc si je l'ajoute
au logarithme de 2841 qui est. 3-45347
.la SDmme . 3.45357
sera le log. de 284i>7 , y ajoutant le log. de 10 qui est i .00000
on aiu'a pour le logarithme cherché. . 4*45357
En généralisant ce qui précède , on voit que , pour avoir le logarithme d'un nombre entier qui passe les limites des tables , il faut partager h sa droite autant de chiffres qu'il est nécessaire pour que la partie restante a gauche puisse se trouver dans la table : on prend le logarithme de cette partie et la diflérence' de ce log. au log. suivant, puis on fait cette proportion, I est eiiod chiffres -partagés à droite considérés comme dcci-maux j comme la différence des deux logarithmes de la table est ikjLin quatrième terme. Ce quatrième terme étant trouvé , oji rajoutera au logarithme de la partie restante a gauche, ce qui donnera le logarithme de cette partie jointe aux chiffres décimaux partagés a droite. Ensuite on ajoutera a la cai^actéristique autant d'unités comme on a partagé de chiffres décimaux, ce qui donnera le logaridune du nombre proposé.
Remarque.
487. Pour pouvoir faire usage de cette méthode, il faut que la
!)artic restante k gauche ait plus de chiffres qu'il n'y a d'unités daus a moitié du nombre + i des chiffres décimaux du log. (482).
Ainsi les tables dans lesquelles les logarithmes ont 5 qu 6 décimales, doivent être calculée^ jusqua'ioooo. Celles qui renferment des logarithmes k 7 ou 8 décimales , devroient domier les logarithmes des nombres de cinq chiffres, c'est-k-dire , jusqu'à 1 00000 ; telles sont les tables de Callet. Celles qui conticuneiit ^ des logaritlimes calculés k 20 décimales , doivent donner les
Cours de Mathématiques. igi
logarithmes des nombres de onze cbiffres, «est-a-dire, jiilsqli*k^ looooooooooo. Mais comme elles deyiendroient alors trc» Volumineuses y on renonce a faire usage de la méthode précédente ; . on en emploie une autre dont l'exposition nous meneroit trop loin, et pour laquelle on peut consulter le précis qui précède les tables de Cauet.
Nombres fractionnaires.
488. Si le nombre est décimal, par exemple, si on demande le logarithme de 47 74^; on observera que ce nombre revient à 4743 divisé par 1000 (84')« U faut donc prendre le log. de 4743 <I^î €st 3.6^6o5, et en retrancher celui de 1000 qui est 3 , on aura o.ô^ôoS pour le log. du nèmbre proposé.
Comme on peut appliquer un raisonnement semblable dans tous les cas , on voit que ,
489. Pour avoir le logarithme d'un nombre entier joint* h une quantité décimale , il suffit de prendre le logarithme de ce nombre sans faire attention k la virgule, et de retrancher de la caractéristique autant d unités comme il y a de chiffres' décimaux.
^QO. Si on veut avoir le log. d'un nombre entier joint à une fraction ordinaire, par exemple, de 11 .?; on remarquera
que ni rçvieut a î? (i4o)? ou a aS divisé par 3' (87);
donc son logarithme vaut log. 35 — log. 3. ,
491. Comme on peut appliquer un procédé semblable dans tous les cas , on voit donc que , pour avoir le logarithme d'un nombre entier joint a une fraction ordinaire , il suffit de convertir le tout en fraction^ de prendre le logarithme du numérateur et d'en retrancher celui du dénominateur, le reste sera le log. du nonâ)re entier joint a la fraction.
Fractions.
492. 1^. Fractions ordinaires. Soit a trouver le logarithme de - ; ce nombre revient a 5 divisé par -j ( 87 ) , ainsi son logarithme vaut logarithme 5 — logarithme 7 ; mais logarithme de 7 étant plus grand que logarithme 5 ; cette soustraction est impossible, ainsi on ne peut trouver le log. d'une fraction.
Dans l'usage, on retranche le log. de 5 de celui de 7, ce qui, au lieu de donner le logarithme de i, donne logarithme 7
—^ logarlthine 5, ou logarithme -2 , c'est-k-dire , de la fraction
renyersée ; on le fait précéder du signe — pour se souvenir que ce n'est point le logarithme de la fraction proposée, mais celiiî de cette fraction renversée; et dans les opérations dans lesquelles ces logarithmes sont employés, oh a soin de s'ca
iQt Cours p£ MATHÉttÀi'iQtjè^.
servir conformément a 1 opération qu'il faudroit fake en employant la fraction renversée , au lieu de la fraction proposée. On voit- donc que l'on prend pour logarithme d'une fraction le log. de cette fraction renversée, précédé du signe — .
49^* Comme où peut taiâonner de la inêtne m^ière dans tous les cas, on voit qiie, pour avoir le log. d'une fraction, on retranche le log. du numérateur de. celui du dénominateur, et on fait précéder le reste du signe — pour rappeler que ce log. est, a parler exactement, celui de la fraction renversée..
2<>, Fractions décimales. Soit a trouver le log. de o,o4i, cette quantité revient évidemment à Ji. ; ainsi pour en avoir
le logarithme, il faut retrancher le logarithme de 4^ qui est ijâia-jS, du log. de looo qui est 3, et Ion aura — 1,08722 pour le logarithme de i- -, on met le signe — pour rappeler que
ce logarithme est, a proprement parler, le log. de la Tracûon renversée i^. En général, pour avoir le log. d'une quantité
décimale , l'opération se réduit a prendre son logarithme saDS faire attention à la virgule, a le retrancher d'autant d'unités comme il y a de chiffres décimaux, et a faire précéder le reste du signe — pour rappeler que c'est le logarithme de la fraction renversée.
494« Les logarithmes précédés du signe—, s'appellent /og^rithmes négatifs, les autres s'appellent logarithmes positifs.
495. Quand on doit considérer ensemble des log. pégatifs et des logarithmes positifs, on fait précéder ceux-ci du signe +.
Emploi des Locahithmes nÉOAfiFs.
i«>. Un logarithme négatif et un logarithme positif
496. Multiplication. Soit a multiplier le nombre qui a pour logarithme 1.95424? par celui qui a pour.log, — 0.77815. Le
Eremier log. appartient k un nombre entier ou fractionnaire , et ) second a une îraction. Pour multiplier par cette fraction , l'opération se réduit k diviser par cette fraction renversée (191)- En opérant par logarithmes, il faut donc du log. i.9§4^4 retrancjier le logarithme de la fraction renversée 0,77816, le reste ■+• 1,17609 sera le logarithme du quotient ou du produit • des nombres correspondans aux deux log. proposés , cherchant ce log. dans les tables , on a 1 5 pour ce produit.
