Une fraction étant le quotient du numérateur divisé

5ar le dénominateur; il s'ensuit que, pour avoir le logarithme une fraction , il faudroit prendre le complément arithmétique du logarithme du dénominateur, l'ajouter au logarithme du numérateur, et retrancher une dixaine de la caractéristique (533), mais cette soustraction n'étant pas possible, lorsqu'il s'agit d'une fraction proprement dite, on se rappelle dansTusage que l'on fait de ces logarithmes, que leur caractéristique e$t trop forte de lo. .

536. Pour trouver le nombre auquel répond im logarithme dont la caractéristique est trop forte de lo, on cherche le nombre correspondant comme celui d'un logarithme qui passe les limites des tables , et on partage dix chiffres décimaux a la droite.

La raison de cela est que le nombre cherché est le quotient du nombre qui répond au logarithjne proposé divisé par le nombre qui a lo pour logarithme (5i4) , c'est-à-dire, par ib'* ( 448 ) ; donc après avoir trouvé le nombre qui répond a ce logarithme, il faut le diviser par io^°, o'est-a-dire, partager dix chiffres a la droite.

53t. Dans l'usage, pour ne pas chercher une exactitude illusoire , il faut retrancher de la caractéristique autant d'unités comme il est nécessaire, pour que le reste ne passe pas le logarithme limite relatif à la table : on cherché le nombre correspondant, a moins d'une unité près, et on partage a la droite autant de chiffres décimaux, comme il restoit d'unités de trojp. a la caractéristique : on est sûr de cette manière que l'erreur ne va pas^ a une unité décimale du dernier ordre.

Exemple CXLVII. Multiplier 7 par |.

Log. -. .... g. 85387 Chacun des logarithmes étant

T a Q 823qi trop fort de lo, la somme des !i

^' ' .* * * ^' ^ est trop forte de 20. Le log. limite^ Log. produit. . 19.67778 àe la table étant 4.60206, avec • ou. . . . 3.67778 quatre unués de trop , je retranche 16 de la caractéristique, il reste 3.67778 qm n'a plus que quatre unités de trop , le nombre correspondant est 4762, partageât! t quatre chiffres k sa droite, on iura 0,4762 pour le produit cherché.

io4. Cours se Mathématiques.

Exemple CXLVIII.

Diviser L" par i. .

ii *• 5

Log. il . 9.92745

Log. 1 9'9o3o9

Exemple CXLIX.

Diviser ^ par l{.

Log. i 9.90809

Log, ;-;. ..... , 9.92745

Log. quotient. . . . 9.97564

3ui répond a 0,9454, a moins W dix-millième près : comme la soustraction n'étoit pas possible, j'ai augmenté dune di-

Log. quotient. . . . 0.02436 qui répond k i .0677 > ^ n^oins d'un dix-millième : il n'y avoit rien a changer au reste, parce que les deux log. étoient trop

grands d'une même quantité., xaine le log. du dividende qui

s'est trouvé alors trop fort de deux dixMues , et comme celui du diviseur étoit trop fort d'une dixaine , la diflférence ou le logarithme du quotient est donc trop forte -d'une dixaiire. D'après cela, on trouva aisément le nombre correspondant ( 537 ) , il est aisé de voit comment on employeroit ces logarithmes dans toute autre combinaison de multiplications et de divisions.

538. Dans les élévations aux puissances, il faut bien remarquer que la dixaine de trop de la caractéristique se trouve multi-

Îitiée par le degré de la puissance ; ainsi ja. caractéristique du egarithme de cette puissance est trop forte d'autant de dixaines qu'H y a d'imités dans le degré de la puissance. ExEMPLp CL. Elever i k la 5™« puissance.

Log. 5. . . . 9.75696 Le logarithme de k puissance est

Multiplié par. 5 trop fort de cinq dixaines ; en sup-

, , , - "Tô~*o7û primant quatre de ces dixaines, on Log. (1)^ . 48.7848a ,^^^^^ 8.78480 qui rfest plus trop

fort que d'une dixaine, et qui répond à 0,06098, a moins d'un cent-millième près.

539. Dans les extractions déracine, on commencera par ajouter a la caractéristique , ou par en retrancher autant de dixaines comme il est nécessaire, pour que le nombre des dixaines de trop soit égal au degré de la racine ; alors en divisant par lé nombre qui mai-que le degré de la racine , il est évident que k logarithme de la racine sera trop fort précisément d'une dixaine.

EXE'MPLE CLL lX)g. .7. . . 9

Ajoutez. . . 20 ce qui la rendue trop

c 1 ■ -"' — S~'~^>'' dixaines ; le tiers ou le log.. de la ra-

Sommc.. . 29-89086 ciae cubique est donc trop fort d'une

^^S' V 9* • 9* 9"*^^^ dixaine. On trouvera donc pour la racine cherchée 0.9196 quantité exacte, îi moins d'un loooo» près..

CLL On demande la .racioe cubique de 7^.

.89086 J'ai ajouté 20 à la caractéristique ,

ce oui l'a rendue trop forte de trois

Cov&s DE Mathématiquis. »»S

NOTIOirS FRÉLIMIITAIKES.

Définition.

540. V Algèbre est une science qui a pour Lut de donner les moyens de représenter, a l'aide de signes abréviatifs, Feusemble des opérations quil faut faire sur les quantités données, indépendamment de leurs valeurs particulières , pour obtenir les quantités cherchées, et d exprimer d'ime manière concise, . au tnoyy des mêmes signes, les raisonnemem nécessaires pour établir 1^ relations qui existent entre les quantités que ton considère»

L'expression, a Faîde des signes abréviatifs de l'algèbre, du système des opérations a «effectuer, pour avoir la valeur d'une quaalîté, ^Vf^^e formule algébrique on sim^mèsA formule . Ùfk lui doaue aussi le nom ^expression aigébriifue.

Signes. .

541- Nous avons déjà fait connoitre les signes rekilife 2f(ts. opératîofis , ce son t : pour l'addition + ; pom* ta soustractions — \ pou» 1» mwkipMcatiou x ; pour la division , la forme fraction^ naire ou le rapport géométrique; pour l'élévation aux fui9sadces, l'exposant ; pour les extractions de racine , le radical V.

54^. Le signe + et le signe — sont dits signes contraires,

543. Pour les relations des quantités, indépendamment du signe = égal , on emploie aussi le signe d'inégalité <^ ou > , la plus grande quantité se met du côté de l'ouverture, et la plus petite du côté de la pointe ; ainsi 3 ■< 7 , s'énonee î est plus' petit que 7 ou 3 plus petit que 7 , selon que l'exige ki phrase , et & ^ â , s'énonce 6 est plus grand qu^ 2^ o« 6 plus grand que 2.

544- A l'égard des quantités , comme, en général, elles scntt considérées en algèbre , indépendamment de leurs valeurs p«i*- " ticulières, on emploie des signes entièrement indépendaws de ces Valeurs pour les représenter. Le phis sauvent on eittploîe les lettres de l'alphabet français, d'autres fois ce sont celles de l'alphabet çrec. Ainsi a + i marque que les deux quantités représentées lune par a et l'autre par fc, doivent être ajoutées ensemble; si donc a vaut 3 et i 4? ^+'^ vaudra 7. Si ^ vaut -5 et i 9, a + b vaudra i4, etc. rien absolument ïiie détermine la valeur de ^ et de ft , que la convention qui a

206 Cours de Mathématiques.

été faite a ce sujet par celui qui les emploie. Les quantités représentées par les lettres , sont dites littérales , et celles qui sont représentées par des uomLrcs, sont dites numériques.

Quantités positives.

545. On appelle quantités positii^es , toute quantité qui est précédée du signe -|- ou qui n a point de signe , parce que dans ce dernier cas , le signe + est toujours sous-entendu. Ainsi a ou + ^ est une quantité positive.

Quantités négatives,

546. On appelle quantités négatii^es , toute quantife qui est précédée du signe — , ainsi dans a — i^ la quantité b est négative. Dans — rt + c — d-^-^e, a^ d et e sont négatifs.

Coejjflciens^

547. On appelle coefficiens dune quantité le facteur numérique de cette quantité ; ainsi dans 7 xa^ 7 est le coefficient, dansa'xgxi:, le coefficient est 9. On écrit ordinairement le facteur numérique le premier; ainsi on mettroit ^%ay.h ,ct qui ne change point la valeur du produit ( 53 ).

548. On indique aussi la multiplication , lorsque les facteurs sont des lettres en les séparant par un point, ou même 'en ne mettant aucun signe, ainsi gxa xi^ g . a .b , et 9 ai représentent également le produit des trois facteurs 9, a eti^ 17 a^ b^ c d^ représente le produit des cinq facteurs 17, a^ , b^, c Q.X dK

Termes.

549. On appelle termes d'une expression algébrique les parties séparées par les signes + et — , ainsi a +ft -=— c -f-i/, a quatre termes, 3 a^b — 6 ac -+- a d en a trois , 17 abc n'en a quun. Une expression composée dun seul terme, s'appelle monôme; celle qui en a deux, binôme; trois, trinôme, etc. et quand on veut exprimer qu'elle a plusieurs termes sans en déteiTniner le nombre , on dit qu'elle est complexe ou polynôme.

550. On dit qu'une expression est ordonnée par rapport a une lettre , lorsque les exposans de cette lettre se trouvent écrits par ordre de grandeur ; ainsi a^ -\^ l^a^ b — 7 a + r, est ordonnée par rapport a a, x^ + ax^ ^ a^ x'^ -^ a^ x — a^ , est ordonnée par rapport a x, etc.

55 1 . Lorsqu'il se trouve plusieurs termes affectés d'une même puissance de la lettre par rapport a laquelle on ordonne , on renferme entre deux parenthèses tout ce qui multiplie cette

Cours de Mathématiques. 207

puissance, et on indicjue ensuite la multiplication par cette puissance. Ou bien on écrit dans une même colonne tous" les termes affectés de cette puissance.

552. La totalité des termes affectés dune même puissance de la lettre par rapport sl lacjuelle on ordonne , est souvent regardée comme étant un seul terme dans la quantité ordonnée.

Ainsi ^a^x — Sbx'- -+- 6b^ c x*- — i^b^cx + i abc x** + 4fl^ar3 + ^bcx —6b + ia^ — Jia^b'-cx + 6a^x'' + nc^x —^ c^, étant ordonné par rapport ql x^ donne (4^^ + 6J^c)a:5 + (6^* + ^abc Sb)x'^ + (4^3 — ^a^b^c — 2J^c+ Sbc + 2c3)a:+3a* — 6 b — c*

ou Ol + 6b'^c

xi + 6 a'' -f* 3 abc

— àib^ c — c*

+ 5 'vc

Le terme affecté de la plus haute puissance x^ est le premier terme , celui affecté de la pluç haute puissance après celle-là est dit lé second tenue , etc.

553. On appelle ternies semblables , ceux qui ne différent que par le facteur numéiîque ou coefficient et qui sont composés des mêmes lettres affectées du même exposant , ainsi les deux termes -+^7 a^ b^ c et — * i^a^ b^c sont semblables; il en, est de même des deux termes q a^ c^ et ita^c^.

554. On appelle degré' ou dimension ^'un te)fme la somme des exposaiis de toutes les lettres qui y sont facteurs, ainsi 'j a^b^ cd est un terme de ii dimensions ou du ii™« degré, le plus haut degré de tous les termes est celui que l'on prend pour degré du polynôme i quand tous les termes sont du même degré, le polynôme est dit homogène.

' Réduction.

555. La réduction est l'opération par laquelle on réduit plusieurs te^^le5 semblables a un seul.

556. Pour faire la réduction, on ajoute ensemble tous les termes semblables qui ont le signe + ( ce qui se fait en ajoutant leurs coefficiens (47 et i83)), on ajoute de même ceux qui ont le signe- — , on retranthe le plus petit résultat du plus grand (ce qui se^ fait en soustrayant le plus. petit coefficient du plus grand ( 47 et i83)) , et on donne au reste le signe du plus grand.

Eiî effet , supposons que l'on ait 7a — S a +3 a — a^. 11 est évident que 7^ + 3 a valent 10 ^ (47 et 1 83) , et que

•^5i»-^ an valent -^'j a, (m aara donc loa-^ "j-a qui TMt 3tf.

Si on a ^ a — iia-4~^^-^3^^ 7ii-f-2iK donseni g <i> €t — 'iié»-^3/^ dottnera — iS^a», la c[uanûcé S6 féduit dope à 9a-^i4^- Il est cyidcm que cette soustractkHi est impossible; alors on retnmche 9 a à» il^a^ ce qui âoime 5tf> et OH fait précéder ce reste da signe — poiur marquer qne Von a été cc^uit a une sou^raction impossible ^ et que la qtmfidté précédée de ce signe ^ est ce dont la quantité à soustraire étoit plus grande que celle dont on devoit soustraire.