On verra de même que le produit renferme le produit
CoDiis DE Mathématiques. ■ de la multiplication des termes où la lettre , par rapport à laquelle on ordmine, a le plus petit exposant tel qu'il résulte inimédiatemeut de celte multiplication.
583. Le produit de deux polynomc^s ne peut donc avoir moins de deux termes, ainsi il ne peut jamais se rcduîi-e à un monôme.
DlVISIOH.
584- La division algébrique a pour but de trouver uoe espressioo appelée quotient qui , étant loultipliée par ime quantité donnée appelée diviseur ^ reproduise une quantité donnée que l'on appelle dividende.
Monômes .
585. Pour que la division des monômes puisse s'cfFectucr exactement, il faut trois conditions.
586. i". Que le coefficient du (Hividende contieime exactement celui du diviseur.
En effet , le coefficient du dividende égale le coefficient du diviseur multiplié par celui du quotient (584 ^^ ^^i); donc le coefficient du quotient égale le coefficieut du dividende di- I visé par le coefficieut du diïiseiir; donc si cette division ne se faisoit pas exactement, le coefficient du quotient ne seroit pas un nombre entier.
58;;. 2". Que toutes les lettres du diviseur soient dans le diyidende. En effet, en multipliant le diviseur par le quotient, on doit retrouver le dividende ( 584 ) i *^°nc , quand le diviseur et le quotient sont entiers, le dividende doit renfermer toutes les lettres du diviseur et toutes celles du quotient (Sti).
588. 3°. Que l'exposant de cbaque lettre dans le dividende, ne soit pas plus petit que l'exposant de la même lettre dans le diviseur. En cflet, le dividende étant le produit du diviseur
Ear k quotient , lorsque le diviseur et le quotient sont entiers , .exposant de chaque lettre dans le dividende, est la somme ' des cxposans de cette lettre dans le diviseur et dans le quotient (571); donc l'exposant de cliaque lettre dans le dividende ne I peut être moindre que l'exposant de cette lettre dans le diviseur.
589. Pour diviser un monôme par un monôme, quand la division peut se faire exactement; il faut, 1°. donner au quotient le signe + , si le dividende et le diviseur ont le nieme signe, et le signe — , s'ils ont différens signes; 2°. diviser le coefficient du dividende par celui du diviseur , on aura celui du quotient (586); 3". écrire au quotient toutes les lettres
, du dividende , excepté celles qui sont dans le diviseur avec 1 le même exposant que dans le diviijende ; 4°- donner à chaque
2i4 Cours de Mathématiques.
lettre un exposant égal a son exposant dans le dividende moins son exposant dans le diviseur.
En dFct, si le dividende a le signe +, il fautcpiele diviseur et le quotient aient le même signe, pour qu'ib le reproduisent, ^tant multipliés luii par l'autre (667 ) ; donc si le diviseur a Iç signe +, le quotient aura le signe -f-, et si le diviseur aie signe — , le quotient aiura le signe — ; cela s'exprime en disant que 4" dwisé par + donne + ^ e^ — dwisépar — donne — .
Si le dividende a le signe — , il faut que le diviseur et le quotient aient des signes contraires , pour qu'ils le reproduisent, €^tant multipliés l'un par l'autre ( ^è^j ) ; donc si le diviscr.r a le signe 4., le quotient aura le signe. — , et si le diviseur a le signe — , le quotient aura le signe + , ainsi — dwisé par + donHe -r-A et — dwisé par — donne +. •
Donc en effet, le quotient aie signe + , quand lé dividende et le djiviçeur ont le même signe , et le signe — quand ils ont des signes contraires ; ce qui démontre ,1a règle des signes.
Cela pose, soit i5 a^h^ c^ d a diviser par 3 ab^ c^ , on aura (584) iS^^Z^^c^.d = 'i aJp- c^ X le quotient; donc i5 =■ iî X le coefficient du quotient ; ainsi le coefficient du quotient i?st i^ où 5, c'cst-h-dire , le coefficient du dividende, divisé par
celui du diviseur ; de plus l'exposant 4 ^l® ^ ^'^^^ Iç dividende égale l'exposant i de a dans le diviseur + son ex^psantdaiisle quotient (571); donc l'exposant daiisle quotient égale l'exposant 4 ^u dividende — l'exposant i du diviseur , aiasi on doit avoir a^ au quotient : on verra de même que l'on doit y avoir betdy c'est-a-dire , que l'exposant de chaque lettre; dans le quotient, vaut son expogant dans le dividende — son exposant dans le diviseur j le quotient est donc 5a^ bd ^^ ce qui est aisé a vermer.
590 Le quotient ne doit point" renfernaei; les lettres qui ont le même exposant dans le dividende et dans le diviseur, parce ue l'on. peut supprimer ces lettres, sans changer la valeur u quotient, puisque c'est diviser le dividende et le diviseur par une même quantité.
591. Quand la diVîsion ne. peut pas s'effectuer exactement, on met le quotient Sous la forme d une fractiou dont le numérateur est le dividende, et le dénominateur le diviseur. On simplifie ensuite cette fraction en supprimant les fact;eurs comïnuns au numérateur et au dénominateur, ce qui n'en change point la valeur, puisque c'est diviser ses deux termes par un même noinbre (.iPQ et 199), ces facteurs communs étant ici monômes, sont toujours faciles a apercevoir a l'inspection seule ; k
Co.U.RS DE Ma.THÉM AXIQUES, 2l5
regard du coefficient, s!il est fractionnaire , on le réduit h sa plus siinple expression comme une fraction, numérique (i56).
Exemple CLIV- Diviser iS:^^ b^ c^ d par i6 a"- M c^f, cette division ne peut s'efiectuer exactement , parce qu elle ne remplit aucune dies çpnditiops, (586, 687 et 588), ainsi le
quotient sera --— ^ — r-^ — ^: divisant les deux coetfaciens par
leur plus grand commun diviseur 2, et supprimant, les facteurs a^,b^ et c^, qui sont comm^uns au numérateur et au
denomjuiateur , on aura ^^ — >,.
StàcJ ,
Pofynomes,
5p2. Lorsque le dividende seul est polynôme, et le diviseur monôme, il faut diviser chaque partie du dividende jpar le diviseur , comme ont fait la division des monômes. La réunion de tous les quotîèns partiels sera le quotient total.
Cela est évident, puiscm.*én multipliant le quotient trouvé de cette manière par le diviseur, ce qui se fera en multipliant chacime de ses parties, on retrouvera le dividende.
Ainsi' 7 a^b^ — îit^ b + 6a^ c divisé par ^% donne 7 a* b^ — 3 ai + 6p et 8 a] c^ — 6 a^c^ + 7 a* i* divi§c par 4 ^^ ^*>
donne 2 a' c— •- a^ +.--t«
S93. Si le diviseur seul est polynôme et le dividende moiipme, la division ne peut s'effectuer exactement,; car le produit du produit d'un polynôme par un monôme, donneroit évidemment im polynôme, et le produit d'un polynôme par. un polynôme , donnerpit.au moins deux tenues (583). .
Oïl
Ainsi i a^ b divisé par a^+i*. donne -; -,
5a*fc— 6tfc4- ibd divisé par3acd. donne ^•"^ — '-fr iL
5g4:. Pour faire la division lorsque le dividende et le diviseur sont polynômes, commencer par ordonner le dividende- et le diviseur par rapport a ime même lettre. Le- premier^ tetme du dividcjndç sera alors le produit du premier terme du diviseur par lé premier terme du quotient ( 58i ) ; donc en divisant le premier terme du dividende parle premier terme du diviseur, comme on divise un monôme par un monôme , on aura le premier terme du quotient ( 8a) ; on multipliera tout le diviseur par le premier terme du quotient, et on retiranchera le produit du dividende, ce qui se fera en changeant le signe-
2116 Cours de Mathématiques.
de chaque terme de ce produit , et Tajoutant ensuite au dividende (SSgj, le reste sera le produit du diviseur par les termes çcstans du quotient, et par conséquent, eu divisant le premier termç de ce reste par le premier terme du diviseur, comme on divise un monôme par un monôme, on aura le second terme du quotient (58i çt8p); on multipUera tout le diviseur par le second tenue du quotient , on retranchera le produit du reste comme il vient aêtre dit, le nouveau reste sera le produit du diviseur par tQU5 les tenues du quotient qui suivent les deux premiers.
Eu continuant de même , on trouvera successivement tous les termes du quotient.
Exemple CLV. Diviser i6a*— çôa^i — ai6a^3 + ai6û*^*+SiA* par a7.&^---8^i-^36a^À— <&4a^^
-fca^aJ^ — io8ii*]^*4.i6aûA5 Ôi34
agreste o
Aprè^ avoir ordonnç le dividende et le diviseur , comme oa le voit ci-dessus, j observe que 16 a* est le produit de — 8 a^. par le terme dû quotient qui a le plus grand exposant (58 1); divisant donc 16 a* par — 8 a^ (589) j jai -r 2 a pour prc- UÙer terme du quotient.
ïe multiplie tous les termes du diviseur par ^^ik a, et je retranche le produit du dividende, ce qui se fait en changeant le signe de daique terme ^ puis faisant la réduction (SSg), le reste est donc le produit du diviseur par les termes lestans du quotient^ ainsi — %^a^b est le produit dç — 8tf^ par le premier de ces termes restans ou pçtr le sçcond terme du quotient total ; donc ce second terme est + 3 &; la multiplication du diviseur par ce tenose étant faiite , ensuite la sousiiactîon et U réductiniL, il ue reste cien , ainsi le quotient total est -r ''A a + 3r&. Ou voit aisément ce qu^il y auroit k £airç, si le uomhre des termes du quotient étoit plus considérable.
595. Lorsque plusieurs termes du dividende ou du diviseur sottt affectés d'une même puissance de la lettre relativement à laquelle on ordonne, on réunit dans une même colonne, ou entre deux parenthèses , tous les multiplicateurs de cette puissance (53 1), et on rç^^irde leur totalité comme formant le coefficient de cette puissance.
GoTIR&.fiK MATBÉUi.TIQUS'$. 217
Ex. CiVi. Diviser a'*»— fl»«»+a»i'4-«»<**4-3«ift-'3<itf+^* par ab. •— ac -i- b*^ b* rt'+ft' \a^ + Zb[(i+ib^ t(b~.c)a +J*
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