ALGÉBRIQUES
Tuissances des Monômes.
673. Pour élci^er une quantité monôme à une puissant^ quelconque ., il suffit d'élever son coefficient à cette pui^ sance ; ensuite^ on multiplie l'exposant de chaque Jettre par le degré de la puissance, et on donne au résultat le signe + si l'exposant est pair ^ et le signe de la quantité s'il est impair.
En effet, soit ^a^b^c.mie quantité qu'il faut élever ah puissance cinquième ; la puissance cinqmème sera le produit de cinq facteurs ég^ux k /^a^b^c; c est -a -dire, ^a^b^c X J^a^ù^ c X ^a^b"^ c x ^a^ b'-cx ^a^ b^ c. En ijitfirvcrtîssant Tordre des facteurs de manière a réunir ceux qui sont égaux, on aura ^x^x^x^x^xa^xa^xa^xa^xa^xb^xb^ x J* xi*
l'exposant
ou J**<J; enfin les cinq facteurs c donnent c^. Donc .le produit total est 4^ fl^xj . 6*x5 . ^^^ ou 1024 a^^ b^ cKIa dé* raonstration seroit la même dans tout autre cas.
674» A l'égard de la règle des signes , c'est ime suite immédiate .de la règle des signes de. la multiplication. En effet, soit — a a élever à une puissance paire , par exemple à h sixième^ on aura ( — ay=;i-^ax-^ax — «x— ^Àx-^tf x— tf. Multipliant ces facteurs deux a deux, il viendra + a* xi** x a* eu + a^. S la puissance étoit impaire , en prenant la puissance du degré inférieur qnî seroit pair , on aiuroit le signe -f; multipliant par là quantité même ^ on aura le signe + ou k
Cours de Mathématiques^ 337
signe — f selon que cette quantité a elle-mèq[ie le signe + ou le signe — .
675. On voit donc que si >n ^ n , p y etc. sont des nombres entiers positifs ^ on aura ( a*" . i" . c'' . )^ «■ a""^ . b"^ . <f^.
G'jG. Si le degré de la puissance est un nombre composé , en le décomposant en facteurs Féléviation peut se faire successivement en élevant d'abord la quantité h^ la puissance marquée par Tun des facteurs ^ puis le résultat k la puissance marquée par un autre facteur ^ et ainsi de suite jusqaa ce que tous les facteurs soient employés.
En effet , soit a a élever a la puissance m . n . p . je dis que a""'f'= ((( a )'")'• j''. Car, ( a )'" = a'" ; donc f{a)'^ V
= ( a'" )" = ( 673 ) a'^, etY ( ( tf D» V = (fl'»" )P ^oT'P.
677. Pour élever iine quantité a ime puissance proposée, on peut décomposer le degré de la puissance en -plusieurs parties , élever la quantité au degré marqué par chacune de ces parties séparément > puis multiplier tous les résultats les uns par les autres.
En effet , soit a la quantité qu'il faut élever a la puissance m-^n-^-p y on aura évidemment, d'après là règle des exposans pour la multiplication, aP*'^'^^^ ^=* a^y.aP y,a^ ,
678. On voit donc ^ue,. si on demandoit là onzième puissance de 2 ; comme 10 = 9 -)- 2 , on pourroit former la neuvième et la mtiltîpHer par la deuxième. Pour avoîr la neuvième , comme 9 = 3x3, je forme le cube , ce qui me donne 8 ; puis le cube de ce cube , >ai 5i2 pour neuvième puissance; la multipliant par 4 deuxième puissance, j'ai 2048 pour 1» onzième puissance demandée^
679. Il faut bien remarquer que les règles que nous venons de donner sont vraies , spit que les quantités ^ , fc , c , etc. qu'il . s'agit d'élever représentent des nombres entiers , ou qu'elles représentent des nombres fractionnaires ou incommen* surables , puisqu'elles sont uniquement fondées 'sur l'identité des produits composés des marnes facteurs, et que cette identité subsiste^ non - seulement lorsque les facteurs sont entiers ( 53 ) , mais encore lorsqu'ils sont fractionnaires ( 182 ) et incommensurables ( 279 ). '
680. Pour élever a une puissance quelconque une quantité fractionnaire, il faut élever à cette puissance le numérateur
- J =» — • En efllet , f 7 ) est le
