COMPLEXES
Puissances des Binômes*
- 'joo. Soit a: + a^ un binôme qu'il s'agit d'élever a la puissance m. On a évidemment {x^ay «= ar* + a ax 4- a^ , équation que nous mettrons sous la forme (x + a)^=5x'' + 2 aX +1:1 a"-.
Pour avoir (^ + a)3^ il faut multiplier de part et d'autre jwr (^ + ^), en effectuant la multiplication dans le second membre^ alors les tenncs successifs sei*ont affectés de x^ , ax^ f a^ X, a^y et le multiplicateur de chaque tenue sera la somme du multiplicateur du terme de même rang, et du pré^
^44 Cours de Mataéskatiques.
cèdent dans le carré .(58o)« En sorte que le multiplicateur di premier terme x^ sera x^i celui de ax^ , sera i + - ou -.:
celui de a^ x. sera * + '** ou -• + — , ou enfin Lî. Celui
de ^i'^ sera '-* ou Llî, en sorte que Ton' aura (qc + a)5 ««x^
+ l ax"- +ll a"- X + h3:\ aK
. £n raisonnant de même pour la quatrième puissance , on trouvera (x + a)* -=» x* + i ax^+iâ a"- o:^ + 4^^ ^^x
+ 4:11^ ^4. Et en continuant ainsi , on verra que (a: + ay* =» j:*
•4- à àx^^ 4- 7*f?:i-^ a' x""' + '"'("'-0 ^'^^^ a^ xf^'^ 4-
Oo peut y au reste, s'assurer aisément de Texactitude de cette formule.
Pour cela , nous allons faire voir que si elle est vraie pour un degré quelconque m > elle sera vraie aussi pour le degré (w + i)- En effet, multipliant de part et d'autre par {jx +ii), en effectuant la multiplication dans le second membre ^ là puissances successives dans chaque terme seront, x^*', ajr", a^x^'% a^x"^^f etc. et le coefficient d'un terme quelconque, sera la somme du coefficient du termç de même rang , et du précédent dans x^ + "2 ax^'»+, etc. (58o); ainsi le coefficient
du premier terme x'"^' sera i ; celui du second ax^ sera i +5 ou T— V» celui du troisième a^ x'^* sera ^-f-^-C^-') ou '^-'tiwfw-i) ou ^('•'•^"> ( 47 ) > ou enfin i2iti2:2» ; celui du quatrième a^ af^ sera ?**(iîî:22 -t. ^(^-0 (/«-O ou "'•^^"^•^ + '^("'-Q (^-') , ou enfin
i.a * 1 . a . it X . a . 3 j x.a.3 '
(mf i) rm)(m.T) . ^.^j^j J^ cinquièmc a* o:*^^ sera '"•(^-Of^a) ^
yi(mrï)(m-a)(m-3) q^ m(m-i) (m-a;4 ^ m(m-i) (m-a) (m-3) ^^ ^^jg^^
(m+i).m.(m..i).fm-a). *^ DoUC {x + ^ )"*+' «» X"""*"" -f. î^iti aX^'"
* En général, si « désigne le nombre des termes qui prcctïdeni un ternw
quelconque, il est aisé de/ voir que ce lerme sera ^^^"'^ C'"^) (iw-»fi)
anxm-H^ et que le coefficient du terme précédent seroit par cooséquent y.x)(m-a^.....(m-y , j^^^ j^ coefficient du terme qui en a, „ avant W
dans le développement de (a:-+.fl)'»ti sera ";' ^^'^^'/"l'^^":::Jr*S^^Û
, m(w-i)( m-a)..(m-w1-i) ^^ m.(m-0.(/n-a).. (m-nta).n , m(m^i)(m-%).,(mlnf,io^J^i) ^x.a.3 .. n x.a.3 .. (/i-»).ii *^ x . 2 3..., (/^.jj jT"^
ouenGn ^/^^ .:,..;. 4......... „ > doncjlc^ leme qui en a, n avant
lui dans le développement de (x + a)mfi est ^^t» . (/^fi-O . (^^IfT-^) (^^-iitij
^«a^mtx-n, c>8t à-dire , qu'il est composé en m'+i , comaio'Tc* terme de momu rang dans (aH-û)/», est composé en m.
Cours de Mathématiques. a45
Donc en effet, si la formule (jr4-a)"':i:3j?'»»-{-'2î^j:"»-«-f.^vetc;
est vraie pour le degré m, elle sera vraie aussi pour le degré m 4" I. Or, elle est vraie lorsque m =i4 (700); donc elle sera vraie pour m^ i =» 4 4" ^ ^^ ^ 5 étant vraie pour m == 5 , die sera vraie pour wi+i=5-f-i ^^ 6^ etc. en oontinuant ainsi, on voit qu'elle est vraie, quelle que soit k puissance à laquelle on élève j: -[?• n.
701. La formule (x 4. à^ ==» a:"* + !!?. aa^'^ 4r »«('»»-ii ^1 jpmr» ,^ m-(m..iKp«) ^s^'^^ -^^ ctc. montro que, pour déduire un terme quelconque du précédent, il faut multiplier le coefficient de ce terme précédent par Tèxposant de x dans oe même terme, et diviser le produit par le nombre qui marque le rang de ce' terme précédent, on aura le coe(Gcient du terme dierché, epsuite on augmentera l'exposant de a d'une unité, et on diminuera d'autant celuji de :t; , on aura le terme cherché»
Exemple CLXVII. Si on demande la sixième puissance de j: + tf , le premier tehne sera x^ ; pour avoir le second , je multiplie i^ coefficient sous-eritendu de x^ par l'exposant 6^ je divise le produit par i, rang de ce terme, j'ai 6, j'aug-r mente l'exposant de a qui est censé o de i , et je diminue de i celui de Xy j'ai 6 a o:^ pour second terme. Pour avoir le troisième , je multiplie le coefficient 6 du secoud par l'exposant 5 de a:, je divise par 2, rang de ce terme, j'ai i5 pour coefficient du troisième, augmentant l'exposant de a y et diminuant celui de a: de I , j'ai 1 5 a^x^; continuant ainsi ^ on trouvera que {x •+- rt)*^ = x^ -f- 6 ax^ -f- 1 5 n*^ a:* + 20 a^x^ + i5 a^x^ + 6 a^ x + a^.
702. Si les termes du binôme étoient affectés Jexposans/ le procédé le plus commode seroit d'égaler chacun de ces l;crnies a une seule lettre, ensuite ayant trouvé le développement comme il vient d'être dit, on y substitueroit a la place des. nouvelles lettres , les termes qu elles représcntoient.
Exemple CLXVIIl. Elever 2 i^ -j- 3 c* a la puissance cinquième; je fais 2 t^=a:, 'ic^^^a, j'ai alors (2 i^ -t- 3 c^)^ «= (x -f-a)' =» x^ + 5^^* + loa^J^^-J- ioa^j:* + 5 a^x -f- aK Remettant pour x sa valeur 2 ft^, et pour a sa valeur 3 c*, on aura j:^ ==» (2 i^)^ = 32 &*>,• 5 ax^ =5x5 ^j'^ X (2 &5)4 pa. 240 i*' c*^ etc. en sorte que (%bJ'^ ic^y = 32 b'^ + 240 6»^ c^ + 720 b^ c» + 1080 b^ c'"- + 8*a
2j^6 CouKs DE Mathématiques.
703. Si, au lieu de x + a, on avwt x-^a, il suffiroit de mettre — a a la place de + ^ dsii^s le développement de x + a, ce qui doimeroit(j: — af* ^^x"'-^'^ ax'^'^ + '!^^ a^x^2 '^'{'»'*M^^ gi xm-z ^^ e^c. Formule que Tonpourroit
aussi ttouYcr directement, et qui conduira au± mêmes conséquences que \es précédentes, en faisant seulement attention que les texmiçs seront alternativement positifs et négati&«
Puissances des Polynômes.
704. Pour élever im polynôme aune puissance quelconque, on égalera tous ses termes , excepté un , a une seule lettre ; la puissance proposée du pcdjnome sera alors ramenée a être la puissance d'un binôme ; on en trouvera le dévelo{^>emeBt par la formule (x +a)'" = ar^^H-, etc. remettant eosHite &is cette expression , à la place de là nouvelle lettvc , ks termes qu elle représentoit , ce développement ne renfermera plus que les puissances d un polynôme qui aura un terme de moÎBS« ï]n traitant de la même manière les puissances de œ polynôme, on diminuera encore de i le nomibre de ses termes , et ea continuant ainsi , on arrivera a un développement qui ne lenicrmera plus que des puissances de mononies.
Exemple CLXIX. Elever a-i^k+c+d^ a la puissance 3. Je fais ût + i Ht- c « o:^ ]Qi (a + b +c -{-dy =^{x -h<f> = a:^ + î dx^ --^ Z d^ X -^ dK Remettant pour x sa valeur, il vient (a + b ^c + dy =^{a i-b + cy + i d(a +b i-cy
+ id'^Ç^a-î-b + c) + di [ïi]. Expression qui ne reii-
fevmc plus que des puissances de trinômes. ^
Je fais a "i-b =p r : (y + cy =/3 + 3 cy^ -j- 3 £.* j 4-c^ ^^ (/ + ^y ==7* + !àcj + c^. Remettant pour y sa valeur, ilvJlent(^i^r*+c)5=(^-fî)J + 3c(fl+i)^+3c^(a+i)+cJ
substituant dans [i i] , on trouve (a + £ + £?+ dy^(a+Vf + 'ic(a + by + 3 c"- (a + b) + cl + id(a + by +6<?rf
(a+b) + 3c[d + 3ad^+'ibd''i^3cdj'+d^ [12].
Expression qui ne renferme plus que des puissances d'un binôme, développant maintenant les puissances de ce binôme , on a
Hf-^*> substituant dans [la], il vient Ça + b+c-^dy^a^ + 3a^b + 3aft^ + bi + i a^c -+- 6abc + 3b^c+ 3ac' + Zbc^.+€^ + 3a^d + 6abd+ib'd+6 acd + Qhci + 3 e^ ^i: + 3 a(i' + 3 i J* -f 3 cd"- + J^ c'est la puissance «leniandée du quatrinome , exprimée en puissances de simples monômes. ' ^
Cours db Mathématiques. a47
Racines des Polynômes,
^oSr. Soit P un polynôme doat il s'agit d'extraire la racine 4Jki dagré m\ Supposons ce polynôme ordonné par rapport -a une de ses lettres, par exemple, la lettre a, et qu'il n'y ait
rml de dénominateur affecté de eette lettre. U est évident que terme affecté de U plus fa^iite puissance de a doit être la puissance m du premier terme de' la racinç adonnée aussi par rapport a a; donc si on extrait la raeiae m è^ premier terme dqi polynôme P> on aura le premier teime de la racine. Soit p ce. premier terme de la racine , il y la iomme de tonales antres , le polynôme P étant la puissance w de (p +^), vaudn donc p"« + mp^\y + m.^ p~"' . j^' 4- > ^^* Doifc si ^ 6n retraAohe dfe P la puissance m de p, ou p"*, le reste seramp^^y + ^ ~ p*""* y^ + , etc. (m yx (mp^-^ + m J!tL p^"^
j+, etc.').....'. [R].
n est clair que dans la parenthèse le terme mp^'^y est celui qm renferme la plus haute puissance de ^^ ^ puisque ce terme est le produit de w— i , facteurs égaux ap^ et que les autres termes sont aussi le produit de m-^i facteui^s^ mais entre lesquels se trouve j^^ où. a, par hypothèse > a un exposant moindre que dans, p ; dpnc le terme du reste , où ^ a le plus grand exposant , est le produit de m p'""" par le terme de y on a a le plus grand exposant , c'est-k-dire , par le second terme de la racine cherchée : donc si on divise le premier terme du reste par mp""'^, oa aura le second terme de la racine. ' .
Désignant par q le second terme*, et par z la somme de tous les autres, cette racine sera (p + 7 +2); danc P revient a (p + 9 -f-'z)/" ou (p +• 7 )'" + m (p + 9 )'"-* 2 -|-^ etc. Par conséquent, si on élevé p +9 a la puissance w^^ et qu'on retranche le résultat [p + qY* de P^ le nouveau reste sera égal ai» {p + q T" z -Kw.»^ (/> + 7 )'"" ^^ +> etc.... [R'],
elî l'on démontrera comme ci-dessus, que le premier terme de ce reste-est le produit dupMnuer terme de i» (p + y )"*"', xî'estrk-dàre-, de mp'^* , jarlé premier terme de z , cest-adîlre, par le troisième terme de Ift racine totale; donc pour avoir ce troisième terme , il faut diviser le premier terme du reste par wip'^' ; soit r ce troisième terme, et u la somme des termes restans , la racine totale sera donc (p + ^ + '^ + ^ ) • Ainsi P revient h (p -f- ^ H- r)f^'+'m (p + 7 + r)*^' u -f-> etc. retranchant doiK; de P> (p -|-y/ H^r)»"^ le reste sera w (p +7 + r)^'^
1^8 Cou ES DE Mathématiques.
u+j ctc [R'3, et Ton verra comme ci-dessus que pour
avoir le quatrième terme tie la racine, il faut diviser le premier terme du troisième reste par mp'^\ On continuera de même jusqu'à ce qu'en retranchant du polynôme P, la puissance m de la racine trouvée , on ait zéro pour reste. Si , avant que cette condition soit remplie, l'on parvient a un reste dans lequel a ait un exposant moindre que dans wp"*"", c'est une preuve qu'elle ne peut l'être, et que le polynôme P n'est pas une puissance parfaite du deçré m.
706. Dans le cas de la racine carrée^ il n'est pas nécessaire de carrer p + ^ , il suffit d'écrire q a côté de 2 p , et de multiplier 2p4-9 par^^ ce qui donne iipq^i-q^ Retranchant de/îj on aura i?% puisque Ion aura soustrait successivement de P,p^ et ipq-^^cf^, c'est-à-dire, (p + 7)^. On voit de même qu'il n'est pas iiécesçairede carrer (p + Çl + r); mais qu'il suffit d'écrire r à la droite de 2 (p -f- 9 )^ ce qui ddiinera 2 (p + 9 ) + '•^ de multiplier le tout par r et de retrancher le produit de R; car alors on aura soustrait . successivement de P les trois parties (p +qY, 2 (p+ q)r él r^ de{p^q +ry, et ainsi de suite. .
Exemple CLXX. Extraire la racine carrée de
— ;3ofl5^— "9^"^^*
[R']. . . . ~20aic~i2a^bc+^c'^
+2oa3c-^i2a*3c — ^^^
5aî4-3a^^2c
ioa3-^3û*3
Ayant ordonné par rapport a a , je prends la racine carrée du proiiiicr terme 25 a^ qui est 5^5; je l'écris à la droite de la racine , carrant et retrachant de [P] , il reste [Rr], Je douhle la racine trouvée, j'ai 10 a^ ^ divisant le premier terme de [R] ï)ar 10 a^ y j'ai i a^b pour second terme de la racine; pour le vérifier, j'écris ia b à la droite de 10 a^^ et je multiplie le tout par S a^b; je retranche le produit de [R] , j^ai [R']; je double 5 «* + 3 a^ i > j ai 10 a^-i^ 6 a^b , divisant le premier terme de [R"] par lo a^ , j'ai — 2 c^ j'écris — 2 c à la <lroite de, la racine et du double de cette racine; je multiplie le double de la racine joint à — 2c ou 10^^+ Ç a^b — 2^ par — ic c.t je retranche le produit de [R'] , comme il ne iTsk» rien , 5 a^ + 3 a'i — 2 c est donc la racine carrée de [P].
COUES DE .MATHÉMAflQCES. ^49
j . Exemple CLXXL Extraire la racine carrée de 9 a* — 54^4 . -f- 12 ac + Si b^ — 36ic 4-4^'- Réponse, 3 <^ — 9 lï+ac. j ExEMP. CLXXII. Extraire la racine carrée de 9 6* -?- 12 ab^ , --24Zr*cî + 4a^fc^+ i6tffcc3+i6c^ : Réponse, 3 î^ — 2 ai — 4^^-
' Ri^ARQUIÎ.
i : 707. Il ne faut pas perdre de vue que la racine carrée peut
être atfcctce indifféremment du signe + ou du signe — • Ainsi on
. auroit également — 'i a + ^b — ic et — • ib^ +'^ab + ^c^
, pour racine dans les deux exemples çi-dessus.
j 708. On pôurrolt aussi, par un procédé analogue a celui
^ que nous avons donné (307), se dispenser, de former le cube
des parties trouvées de la racii;ie^ lorsque c'est une racine
cubique qu'il s'agit d'extraire. ^
