APPLICATIONS A L'ARITHMÉTIQUE
Identité des produits composés des mêmes factey.rs entiers»
709.' Si on ne change point la valeur d'un produit de ïù. Jacteurs, en y inten^ertissant à volonté l'ordre des facteurs, il en sera de même d'un produit de la^i facteurs.
Comparons deux produits quelconques, aya.nt les mêmes facteurs en nombre wi 4- i , je dis quils seront égaux.
En effet, s'ils sont terminés par le même facteur, en sorte que l'un soit Pxa, et l'autre P'xa, P et P^ représentant le ' produit des m autres facteurs , ces deux derniers produits seront égaux par hypothèse ; donc Pa et P-a seront aussi égaux.
S'ils ne sont pas terminés par le même facteur , que l'oii ait, par exemple, Pa et P'c. Le produit P' renferme ii» facteurs dont a fait partie, et comme on peut, par hypothèse, faire telle permutation que l'on voudra entre ces m facteurs , on pourra le mettre sous la forme p^à, p' étant le produit de» ^ — I , facteurs autres que a^ et c» Le produit P^c reviçnt donc ap'xaxc^ ou (5i) ap^xcxaétant maintenant terminé par le même facteur que Pa^ il est donc égal à ce produit; donc en effet , si on ne change point , etc.
710. Le produit d'un nombre quelconque de facteurs, ne change poùit de valeur quand on intervertit l'ordre de ces facteurs.
Eu effet, cette proposition a été démontrée pour deux facteurs (5o) ; donc elle est vraie pour trois (709), étant vraie
■e que ^t de ^valeur
^: nombre
! sombre
m cbiffrts ne
ue mi — i+K.
ou im — a.
laeur, Q le ^lotient
a Amsioa, D=dxQ.
t Bombre quelconqiie m ,
~ = Qxni. Divisant de
pu eu .{' = rf X 2 , d'où î di-
g {;(':néraleuient le 11° 88.
, Ainsi Z> = <i X Q de-
■dxntx?, d'oii^s=£; c'est k
|| : on a aiissi d == ^ x M- Ainsi
^TD divise pai' 1 => Q x m ; c'est la ae-
.,P^d X Q doQne Dm-^dm x Q, et = <2 ) et ^ divisé par ^ •= Q ; ce qui
Bt^i^otient entier, et r le reste d^ la division; jf-t-f ,d"où £ — ï^ + r. Doue siDetd
25o C0UI8 DE MaTQÉX ATIQU2S.
pour trou f elle Test pour quatre (709) , et en continuant aiosi de prodie en proche , on voit quelle est vraie ^ que} que soit le nombre des facteurs.
Cette déiûonstration revient a celle que noxts avons exposée dans I aritlimétique ; mais le^iploi de^ lettres nous a permis de la présenter ici d une manière plus concise et plus générale. Cest k quelques modifications près celle que M. Gergonne a donnée pour cet objet dans les annales de mathématiques : nous lui avons aussi emprunté celles des n^ ^ et 55 çii ea sont un corollaire.
Facteurs terminés par des zéros.
711. Lorsque plusieurs facteurs sonjt termina paç des, ^éros ^ on peut opérer sans faire attention a c^ ^é^s^ponr* vu quon en ajoute autant a la droite du produit QOiQiBiç il y en avoit a la droite de tous les facteurs.
Soient A suivi de m zéros y B suivi de n zéros , C suivi de p zéros , etc. plusieurs facteurs ; ces facteurs reviennent h Ax lo*", jBx lo" , C X lo'* , etc. donc leur produit égale jé xB X C X •••• X io'»+«^'»+"-- c'est-a-dire , le prodtiit des parties qui précèdent ces zéros ^ suivi d^autant de zéros. çowûQ il y en a dans tous les facteurs.
Multiplication des parties décimales.
712. Soient ^, J?, {7.... les facteurs, abstraction: fejte <te 1^ virgule j wf , », p.... le nombre des chiffres décimaux, de
chacun, Hs reviennent a — -, — , — ; donc leur produit
10**' ic'^ ICP *
vaut *-p^+„+-+.7;7^î c'est-a-dire, le produit des facteurs,
abstraction faite de la virgule , en y partageant autant de chi&es décimaux comme U y en a dans tous les facteurs.
Nombre des chiffres du produite
71J. Soit m le nombre des chiffres du multipUcandIe , et n celui des chiffres du multiplicateur ; le multiplicande ne peut évidemment être moindre que l'unité suivie de 1» — r zéros, ou que lo'"-*, et le multiplicateur ne peut être moindre çie 10^"; donc leiu» produit ne peut être moindre ^ue jQ«+n-? , c'est- a-dire que l'unité suivie de m-^n-^VÈ. zéros : donc ce produit ne peut avoir moins de7»+»— i chiffires^ De phis, le multiplicande est moindre que lo*^, et le multiplicateur moindre que lo" \ donc le produit est moindre que lo"**",
CoURf BC Mi^THÉM ATIQUE8. 2S1
c'est-k-tf re , moindre que i suivi ie m+n zéros : donc ce produit ne peut avoir plus de i^-f*'^ chiffres. Ainsi le nombre de$ chiffres du produit es%m+n oix m^J^n — i.
714. Si ks deux facteurs sont égaux , leur produit est le carré de l'un d eux ; ainsi en appelant m le nombre des chîflDres , celui du carré sera 2m ou 21»— i. On voit donc que la (juantité de chiffres du carré ne vent être moindre que le doffibie — i deja quantité de chiures ifi nombre. Proposition/ dont nous avons fait usage ( 479)*
ni 5. On démontrera d'une manière semblable que le produit SmL nombre 1 de facteurs dont la somme des nombres , de chiffres est 3 , est composé d'un nombre de chiffi*es qui n« ^^% ni sujrpasser s m être moindre que 5 — i -f- 1 ; en sorte que Iç noiobre des diiffirea dn prodnit est susceptible d'autant dé valeurs eomme il y a de facteurs , en feâsant varier k valeur 4es diji&es des feucteurs sans en changer le nombre.
•jiÇ- Si tous les facteurs sont égaux ^ leur produit devien- ^ la pui^nce i 4e l'un d'eux ; et en appelant m le nombre de ses chines ^ pa aura mi pour la valeur de ^. Le nombre des chiffre^ dj? I^ fiussance i d'un nombre^ de m chiffres ne peut donc ni surpasser v[t.i y vk être moindre que wif— ?'+i. ^psl poi^r le cube il est 'im ^ ou 3i» — ;, ou 3/?^"— a.
, Division.
717. Soit D le dividende, d le dîviseuf, Q le quotîenç complet , on aura , d'après la définition de la division , D'==>d x Q. WTultîpÛant de part et d'autre par un nombre quiconque m , il vient Dxm=dxàxm,j d'où £lS = Qx/fe. Divisant de
part et d'autre par m , on auroit eu - = ^i X 2 , d'où H divisé par d «=a 2. Ceci démontre généralement le n^ 88.
tn
H 18. On a évidemment 0=2 xm. Ainsi D^=»dx Q dér vient Z> = éix 2xm, DU 2)«=dx/?ix2, d'où ^«2; c'est la
/w - m dm m
première partie du n® «89 : on a aussi ^ =f ^ x w- Ainsi D=^ ^ xmx Q, d'où D divisé par 1^=^ Q x m ; c'est la seconde partie.
719. L'équation D^^d X Q donne Dm^^dm x Q, et P = 1 X O ; d'où ^ =» O , et ^ divisé par £ «=» Q ; ce qui
m m ^- ^ dm ^'m *m^' •■■
démontre le n^ 90.
on aura
I. Soit y le quotient entier, et r le reste d^ la division ; ra Z> = rf Xflr+r, d'où ^^£^^+r.Donc siZ)etd
m Ht • 7H
^5% Cours de Mathématiques.
sont divisibles par.w, ^ et ^3i? étant de$ nôihbres entiers,
'' en sera un aussi , sans quoi un nombre entier seroit é^
à un nombre entier plus une fraction , ce ^ui est absurde. Ceci démontre le n^ i3o.
721. L'équalion D=dxq+r donne Dm^r^^dm'Kq -^rm, ^011^=17 4-11? ; ce qui démontre le n<» i35.
dm ' * dm ' *>
Erreur qui resuite sur le quotient Xune erreur sur le
dividende ou le dit^iseur.
. ^iA2.En divisant le dividende et le diviseur supposes exacts 4'un par Vautre , le quotient ^ sera aussi exact.
723. Si le dividende est fautif de ^ ^ en sorte que le vrai dividende étant D, celui que l'on a employé soitZ>±tf,le diviseur d étant exact, le quotient sera ^ztj ; c'est-a-dire ,
Îne Terreur sur le quotient égale l'erreur sur le dividende îvisée par le diviseur. Donc quand le diviseur est plus grand que l'unité , l'erreur sur le quotient est moindre que 1 erreur sur le dividende. C'est ce qui arrive dan* la réductioa en décimales de la racine carrée d'une fraction , 'lorsque Ton a renda le dénominateur un carré parfait (254, 3<^).
724* S^ l'erreur est dans le diviseur, en sorte qxie Fan ait divisé D par d±e ^ d étant le vrai diviseur , on aura
D De ,, - .
•^q: ■ ^ — ; en sorte que 1 erreur sur le quotient est
-r^ X ■ ; c'est- a -dire, que cette erreur affecte le
quotient en sens contraire du diviseur , et qu'elle est plus petite
ou plus grande que celle du diviseur, selon que ^ — ^ ■
est plus petit ou plus grand que i .
Carrés.
725. Soit X la vraie racine d'un nombre N ^ a sti racine en moins a moins d'une unité , i? le reste ; on aura évidemment a:' — a^ = Ry ou (a: — a) [x '^a)=^ R^ d'où a: — a>
mais puisque x -< a 4- i , on a
ainsi on a .r — a
. De plus, a cause de x
on a
- : donc :c — » a ^ — . Ainsi l'erreur x — a
Cours de Mathématiques. a53
de la racine est entre — et — , comme nous Fayons
annoncé (249)-
•726. La différence de ces deux limites étant r- — : — • ,
il en résulte , ainsi cjue nous l'avons dit ( 249 ) , que l'erreur a: — a est moindre que cette quantité;
