Soit — une fraction dans laquelle D n'est point un

carré parfait; sa racine sera donc ■ , ■ > à étant VZ) et ^

l'erreur de la racine approchée. Nous lui donnons le signe — , parce que nous supposons que l'on a pris la racine ^n moins.

En réduisant en décimales, la vraie valeur seroit -r^ celle que l'on ti*ouvera sera — + 7 ; ou -z+e x -r — 7- — ^'•

^ . d^ dx{d-^e) d dx{4'-e)

L'erreur ex -- ^ . — ^^ qui résulte sur la fraction réduite en dx(d—e) +

décimales de celle du dénominateur sera donc plus grande

que cette .dernière , toutes les fois qiie l'on aura iV^?^ d

X (d — e) y et k fortiori lorsque l'on aura iV^ ^ d*^ ou \/Jf^ > -D j c'est ce que nous avions promis de dcmontri^r

Soit a' la racine de i^ a un degré d'exactitude tel quil n'en l'ésulte pas une erreur e sur le carré, on î^ura donc

x^-r-a* ^ e ou:c — a ^ — : — •, : or, on a a: <f a+i, a ^ a+i . donc — ,-*^,^ — — ; — . Donc si on pread

X'^ci ^ — ■^-: — , il sera h fortiori ^ -■ , ■^ : -, et -l'on

aura x^ — a!^ ^ ^' ^^^^ ce que nous avions proo^jçle prouver 1259). Démonstration du procédé du n<> 264.

728. Lorsque l'on a trouvé n chiffres de Ja i:acine , oa peut par la seule division en trouver n — i autres.

En effet, soit a, les n chiffres trouvés,^, Jcs /* — i chiffres suivans , N la partie du nombre proposée qui est le carré de a-^- z l'A faut remarquer que a ^st cèwsd suivi de w— I zéros, en sorte que a ainsi que a -^^ renferme 2/1— i

!ïS4 CovAt DE Math^matiqvxs;

chiffres. Cela posé, on a {a+zY ==^N on a^'{-^az+z''===Nf

d'où z^= -^ — . Or, z étant composé de n — i

chiffre^ , son carré z^ ne peut en avoir plus de 2 /i — 2 (714); et a étant composé de 2/» — 1 chiffres, ait ne peut en avoir moins que cette quantité : donc z^ a moins de chiffres que

2 a , ainsi — est une fraction. Donc en se bornant aux chiffres entiers , on aura z «-« ■■ ; ce qui démontre la règle dont

il s'agît.

Cu»ss»

729. Soit X la vraie racine d'un nombre N ^ a 9à racine en moins a moins d une unité près ^ il le reste ; je dis que

l'erreur x — a est comprise entre ^ , , ^ — r-- et :r— -. En effet, on a évidemment x^ — n5 = lî, ou {x-^a)

X (a:* + a^ + ^*) = -K, d*où jc— a= , . ' ; — ^.

' a:* + a j? + tf*

Or , on a a: *>► fl , donc -^-— — — ^ *— . • de plus ' "^ ' a7^ + aa; + a^ ^^ 3a*' *^

a: < a + X , donc ^.^^^^^, > 3^iq:3^> Doiu^ en effet ^^^jj^^ouo:-^ , est compris entre g^q^^ et ^^.(agî).

ap*

7^0. La différence dç ces deux fractiotis est r ^"^ — ;

3a*(3a*-f.3û+i) or on a /C ^^ 3 a^+Sa-^- 1 , donc cette différence est moindre

forte raison moindre que — ou que - ; c'est ce que nons

avions promis de démontrer (293).

Démonstration du ti9 3o2.

73 t. Soit a la racine cubique entière, a" la racine cubîqiic de Ifj a un degré d'exactitude tel qu'en la cubant îl n'y ait pas une erreur e sur le cube, on aura donc x^-^a^ ^e,

d'où x-a' < >^^.^^^> ,. Or on a a: < re + I et

GoiT&s 1>E Mathématj^ves. 255

a' <<*+!, ^onc p;-p-l-^> -^. Donc six-*'

est moindre cpiç ^ ^ > , il sera a plus forte raison moiadre ï^® »i / i /> ^ et 1 on aura o:^ — a'^ moindre que e.

Démonstraiion du ,pr^àé au vfi 3o6.

. 73a* Quand on a troiiVé n diifïreft de la racine , on peut par la seule division en trouver n — a autres. ,

En effet , soit a les n chiffres trouvés, z les /i — a chiffres .r«st9ti$> W la partie dii nombre: pix)posé qui est le cidwa de a-j-z'y il faut remarquer que a est cçnse 5uivi de n — 2 zéj^o^y çn sorte que <ît, ainsi ^ç a+i?, renferme a/*-^^ chiffres. Cela pose, on a [a-^zy ««if ou a^-i-dà^z+^az^

z* 3fl-j— z T*-~x— iff-'^— • Qr, 3«+:4f/et 3* ont. le même nombre de

cbjfft^Sy avec cette seule dîffér/çnpe que daeé.S^ 4->5 le* derniei's chiffres sont les w — a chiffres de z , et dans 3 a ce soiit »-— 2 zéros. Soit q ce nombre de chiffres, z 4tant composé de /ï--»2 coffres, son carré ne peut en avoir plus de 2/^ -^4 (7^4)? Ainsi z* k ("3^+2) né peut avoir 'plus èe^n — 4 + y chiffres;, ^t a étant composé de ?t/i, — 2 chiffres, et 3^ de 9 chiffres , ax^ia no peut. en avoir moins de -271-^ 34-^(713); donc ^^ x ( 3 a 4"/^ ) ^ tQujours nloias de chiffres

<piettf>(3t^; ainsi — x: — -* ■■, est toujours; uni^ fi^ction; Donc

:: jy: ^ ^^

en se bornant aui unités entières , on a ^"q?? »■■■ >' ' .; ■ ■ .: ce «i

démontre la règle dont U s'agît. .',.,*