f- ^ cost? 1 + C COSî

En retranchant de l'expression de i celle de ^, et observant que

sin u — sin u = 2 sin S sin 8', on aura

(1) ^^ = 2a« (8 — f? sin l cos 8').

On aura pareillement, en ajoutant ensemble les deux valeurs de r et r , et observant que

cosu -f- cosu = 2 cos 8 cos 8',

(2) p = 2a (i — e cos 8 cos 8').

D*un autre côté, on a, en considérant le triangle rectiligne

dont r, r et d sont les côtés et i?' — r l'angle opposé k a,

(3) <T» = r» 4- r'» — âr/ cos(t?' — r)

z= r* -j- ^'^ — 2rr' [cost? cost?' -|- sini? sînt?'].

On a d'ailleurs, par la comparaison des deax valeurs ci-dessus de r et de r',

a (cosu — e) . asli — e* smw

cos » = — ^^ '5 sin î? = — ^ >

a (cosu — é\ . , a sji — e^ sinu

COSî? = — ^ ; h Sint? = — ' ;

substituant ces valeurs dans celle (3), on aura donc

(T^ = a* (1 — e cosm)^ -f" ^* (^ — ^ costi')*

— 2a' [e cosu) [e cosw') -|- a' (4 — e*) sinti sinu'

= Sa^ (1 — c*) (1 — sinw sin?/' — cosu cosu')

-|- aV (cosu — cosu')*,

ou, en remplaçant sinu sinu' — cosu cosu' par 2 cos *8 — 1, et cosu — cosu' par 2 sin8 sin l\

(j* = 4^2 sin 28 {\ — c« cos»8).

Maintenant, si, dans Jes équations (i) et (4) on met pour

cos 8' sa valeur déduite de Téquation (2), et qui est 5 ^>

. ^ >' 1 2a cos 8

on aura

(j« = 4a» tang »8 fcos »8 — (^^^Y 1'

formules dans lesquelles n'entre point l'excentricité Sy mais qui dépendent encore de u et de u\ c'est-à-dire de 8. Pour éliminer cette dernière quantité, posons

La différence {z — ^')^ sera égale à -j> et Ton aura

C08 28 = zz' + V{i - z^) (1 — z'^] ; d'oil

28 = arc cos^' — arc cosz,

lang S = —7- — -, [sin (arc cos^) — sin arc ( C08>r)].

On a d'ailleurs

substituant dans t^y on aura donc

a (a) e^ =a*}(arc cos^'— arc cos^-)— [sinlarccos^*) — sin(arccos^)].

G*e8t la relation cherchée. Cette relation établit, comme on le voit, le rapport très remarquable qui existe entre le temps employé par la planète à parcourir un arc de son orbite, la corde qui soutend cet arc et les deux rayons vecteurs extrêmes. Elle a reçu le nom de théorème de Lambert; mais, en réalité, elle n'est qu'une extension d'un théorème analogue relatif â la parabole et qu'Euler a donné le premier.

72 LIVRE I — CHAPCTRE II

yi, -r D(J MOUVEMENT HÉLIOCENTRIQUE DANS UNE ORBITE TRÈS EXCENTRIQUE. — THÉORÈME d'EuLER.

Dans ce cas, qui est celui des comètes (ces astres décrivent, en effet, des ellipses très allongées que Ton peut, sans errear sensible, regarder comme des paraboles), il est permis de sup* poser a = 00 et de réduire e à F unité. Dès lors, si Ton représente par q la distance périhélie de la comète, et qu*on pose p = a (1 — e^)j on aura p = 2g, et la formule (13) du paragraphe II deviendra

i-|-cos(t> — (o) ou

Pour avoir la position du mobile sur la parabole à «n instant donné, reprenons Téquation (5) du paragraphe I, savoir

r^dv = Kdt,

et remplaçons-y K par y/aiL (1 — e* et r par r— ; —. -•

On aura, en résolvant Téquation résultante par rapport à dt^

^^a^(i — e»)^ dv

y/jT [1 -t- c cos {v — <d)]2

et, par conséquent,

dt =

Σ^ dv

^ [i4-eco8(r — 0))]»

Pour intégrer cette équation, posons

tang — r— = z,

d'où

tang (t? — û>) = YZr^i' C09 (i; — a>) = j-qrp'^» =f+7ï'

en résultera

dt

^|(rf.+.v.).

et,

en intégrant,

on {

kura

c*est-à-dire

(2) ,=^[tang|(.-.)+itangaî^^)].

Les formules (I) et (2) sont celles dont on fait usage dans la théorie des comètes. La dernière donne facilement t, quand t? — «0 est connu. Mais, lorsqu'on veut déterminer l'anomalie vraie par le temps, il faut résoudre l'équation du troisième degré

équation qui n'est susceptible que d'une seule racine réelle. Pour éviter la résolution de cette équation, on a construit des Tables qui donnent directement l'angle v — w pour les diffé-

rentes valeurs correspondantes de t — J ou de — A défaut de

ces Tables, on pourrait résoudre l'équation (a) par des essais successifs.

La relation très remarquable qui existe entre les deux rayons vecteurs menés aux extrémités d'un arc elliptique, la corde qui soutend cet arc et le temps employé à le parcourir, a également lieu pour la parabole, et on peut la déduire sans difficulté de la formule (a) du paragraphe qui précède, en supposant dans cette formule a = oo . Par cette supposition, en effet, on trouve

arc cosz — sin(arc cos^) = — j (p -f- <t)*,

arc cos^ — sin (arc cos z) = — j (p — «)*,

valeurs qui, étant substituées dans la formule (a), donnent

C'est le beau théorème d'Euler dont nous avons parlé plus haut, et que Lambert a généralisé en l'étendant k l'ellipse et à l'hyperbole.

Intégrratlon des équations différentielles du mouvement par la méthode d'Hamilton et de Jaeobi.