I . — Principes fondamentaux

Les équations différentielles du mouvement prennent une forme remarquable, et leur intégration se trouve notablement simplifiée, lorsqu'on prend pour point de départ les beaux théorèmes qu'Hamilton et Jacobi ont établi dans leurs recherches sur rintégration des équations différentielles de la Dynamique. Nous allons voir, en effet, que, lorsqu'on suit la méthode proposée par ces géomètres, les équations différentielles du mouvement sont ramenées au premier ordre et leur intégration à la recherche et à la différentiation d'une seule fonction 0, satisfaisant à une équation aux dérivées partielles du premier ordre non linéaire par rapport à ces dérivées.

Le premier théorème que nous allons rappeler se rapporte â la transformation Hamiltonienne des équations du mouvement ; les deux autres concernent l'intégration de ces équations ainsi transformées, ou d'équations plus générales.

Dans tout problème de Mécanique où il existe une fonction des forces indépendante du temps et, par conséquent, où le principe des forces vives a lieu, les équations différentielles du mouvement peuvent être ramenées à la forme suivante, due à Hamilton:

. . dpi dU d^ rfH

^ ' dt dq/ dt dpi

H désigne dans ces équations la différence T — U entre la demi-force vive T du système et la fonction des forces U ; qt sont les variables de la question en fonction desquelles on exprime les coordonnées des divers points du système, et q't leurs dérivées prises par rapport au temps L Enfin pi dési gnent de nouvelles variables définies par Téquation

dH

et que Ton substitue à celles g',', ce qui rend 2T et H fonctions de Pi et de qi. Quant à la lettre t, elle désigne un nombre entier quelconque au plus égal à â, si ^ est le nombre des coordonnées qi.

Ces Vi équations différentielles du premier ordre (1), entre les variables pt et ^/, ont été données pour la première fois par Hamilton dans ses recherches sur la Dynamique [On a gênerai method Dynamics^ Trans, philos, 1834-4835); elles ont reçu le nom d'équations canoniques du mouvement. Pour qu'elles soient applicables, il faut, comme on le voit, que la fonction U existe réellement ou, ce qui revient au môme, qu'il soit possible de former la fonction H.

Dans l'énoncé du théorèuie qui précède, nous avons admis