INTRODUIT DANS LES FORMULES DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE

Les trois intégrales (13), (49), (20), que nous venons d'obtenir, renferment six constantes arbitraires

qui sont les éléments de Vorbite de m. Deux de ces éléments ou constantes arbitraires aeXe déterminent la nature de Forbile décrite ; deux autres 6 et <p flxent la position de cette orbite dans l'espace; enfin e et «d dépendent. Tune de la position du périhélie, et l'autre du passage de m par ce point. Les trois intégrales (13), (19) et (21) suffisent donc pour déterriiiner toutes les circonstances du mouvement de m autour de M.

Le cas le plus simple est celui où Ton donne l'une des positions de la planète sur son orbite, et la vitesse correspondante en grandeur et en direction. Dans ce cas, en effet, les six éléments de l'orbite elliptique peuvent être entièrement déterminées, au moyen des conditions initiales du mouvement de l'astre.

Soient œ, y, z les coordonnées de m par rapport à trois axes rectangulaires passant par le centre M du Soleil, regardé comme fixe; or, y\ z les dérivées de ces coordonnées par rapport à<, dérivées qui sont les composantes de la vitesse estimée parallèlement aux mêmes axes ;

V, la vitesse de la planète à l'instant où les coordonnées

sont x,y, z; Uj l'anomalie excentrique ; v^ y la longitude comptée à partir de l'intersection du plan de

l'orbite avec le phm fixe ou de la ligne des nœuds ; Vy la longitude du rayon vecteur projeté sur le plan fixe ; ^09 ^^» ^î ^^^ valeurs de u, t? et t?4, correspondant à ^ = o.

D'après les formules des paragraphes 1, 11 et III, on aura d'abord

œi/' — yy = S>C,

zx — xz = «)C ,

y/ — zi/' = txr,

K = V5t» -f- 3t'» 4- ac^,

»• = Va^ + y* + -',

tang9=* ^ '

tang e = -- — .

relations qui feront connaître immédiatement <p, 0, a et e»

On aura ensuite, en supposant ^ = o dans la formule (19), et employsLiiUoi valeur u^de u qui convient à cet instant,

nl = UQ — esinw^,

équation qui, étant rapprochée de la suivante

r = a {i — e sin Wq),

donnera / et Uq.

Si Ton considère maintenant le triangle sphérique rectangle dont Vq est l'hypoténuse, rj — ô un côté de l'angle droit et (p Tangle adjacent, on aura

cos<p lang t?® = tang (t?y — 6),

équation qui permettra de calculer v'*, lorsque vj aura été déterminé par la formule tang r? = -•

Il reste à déterminer Tangle o) ou la longitude du périhélie. Or, c'est ce qu'il est bien aisé de faire au moyen de la formule (13) du paragraphe II, qui donne cos (»? — 0) en fonction de a, e, et de r.

Ainsi, les six éléments de l'orbite elliptique sont entièrement déterminés par ce qui précède, en fonction des six quantités û7, y, -a- ; œ'f y\ z\ supposées connues.

V» — Propriété du mouvement héliocentrique et en particulier DU MOUVEMENTDANS l'ELLIPSE. — TuÉORÊME DE LaMBERT.

Il existe entre le grand axe de l'orbite d'une planète, le temps employé à décrire un arc de cette orbite, la corde qui soutend cet arc et les deux rayons vecteurs extrêmes, une relation très simple, qu^il est utile de connaître et qui se déduit aisément des formules du mouvement elliptique.

En effet, soient :

r et r les deux rayons vecteurs menés aux extrémités de Tare elliptique;

<r la corde qui soutend cet arc;

t' — f = <^ le temps employé par la planète à le parcourir;

ri et xf les valeurs de w et de t? qui répondent comme r' à ]a seconde position de la planète, ou qui se rapportent au temps i\ et posons

t •=: €? {yi, — e sin w), ^ = a* (m' — e sint/),

r = a (1 — e costi), r = « (1 — e cosm'),