FORME CANONIQUE DES ÉQUATIONS DU MOUV. ELLIPTIQUE

que les liaisons du système étaient indépendantes du temps; mais cette restriction n'est pas nécessaire, et Ton peut, au lieu du système des 2A équations (1), considérer le suivant, qui est plus général :

^^ dt ~" dqt dt ~~ djpi

H^j étant une fonction des variables p^,P2*'Pfc\ î<i ?2-" î*> et de t, telle que H^ (p*, <?*, t). Or, dans ce cas qui comprend en particulier le précédent, Jacobi a fait voir que, si S est une intégrale complète de Téquation aux dérivées partielles du premier ordre

c'est-à-dire une solution contenant k constantes arbitraires «1» «2, Qta... aA, distinctes de celles que Ton peut toujours introduire dans S par simple addition, les 2A intégrales des équations (2) seront

Pi» P2-*-> P^ désignant k nouvelles arbitraires, qui, avec celles a^, a^... a^, complètent le nombre des constantes que doit donner l'intégration du système des équations proposées. Lorsqu'on suppose que le principe des forces vives a lieu, auquel cas la fonction U est indépendante du temps, et que de plus on réduit les coordonnées q^^ q^^ q^.., à celles rectangulaires Xj y, z, on satisfait à Téquation aux dérivées

partielles (a), en prenant pour S une fonction 0 — C^, où C désigne une des trois constantes a^, a^, a,, et 6 une fonction de 07, y y z indépendante du temps. On a alors

df" ^' as "~ rf^ " * rfC "" rfC ' et l'équation (a) devient

Ainsi, dans ce cas qui est celui du système du monde» la question se trouve encore ramenée à la recherche d*une fonction 6 de a;, y, ;8r... contenant trois constantes arbitraires a,, ttj, C, et vérifiant identiquement l'équation (ô). Cette fonction trouvée, on a, pour les intégrales premières et pour celles définitives du problème,

dS dœ ^ ^^ rfe dz dœ dt dy dt dz dt

T désignant une nouvelle constante arbitraire.