I. — Équations de condition en longitude et en latitude

Les Tables planétaires font connailrc les longitudes et les tatiludes des planètes^ telles qu'elles seraient vues du centre du Soleil* Pour pouvoir comparer ces longitudes et ces latitudes héliocenlnques à coUea déduites de robservation et qui soni géocentriquea, il faut d'abord convertir par le calcul les ascensions droites et les déclinaisons observées en longitudes et en latitudes géocentriques^ puis transformer ces derniôres, corrigées de l'aberration et de la nutation, en longitudes et latitudes héliocentriques.

Soient alors v^ la longitude hélîocentrîque d'une planète déduite de robservalion^et Vc le même élément donné par les Tables. Si les Tables étaient exacte& et les observations exemptes d'erreurs, on devrait avoir v^, =^ v^ ', mais comme, en général, il y a toujours une dîflérencc entre ces deux lon^

gitudes, on a

Wc == t?o + S»c,

et par conséquent

(1) ZVe = Vc — Vq.

Pareillemenl,on aurait entre la latitude observée Sq et la latitude calculée Scj la relation

(2) Zsc = Se — «0.

Les variations Bv^ et Isc résultent des corrections que Ton a fait subir aux éléments qui entrent dans la formation des expressions de v et de « ; on les regarde comme exprimant les erreurs des Tables en longitude et en latitude.

Supposons maintenant que l'on ait rassemblé un certain nombre d'observations faites par des observateurs habiles et embrassant un intervalle de temps aussi grand que possible. Appelons / = n/ + e la longitude moyenne de la planète m,

Ç = n< -|- ft — (o son anomalie moyenne et soit \^ m^^^^

l'ensemble des perturbations (exprimées en secondes) que la planète m éprouve de la part des autres planètes m\ nC„. En négligeant, dans l'équation du centre» les puissances de l'excentricité supérieures à la seconde, on aura

(3) î?c = «^ + « + 2e sinC + |e« sin2 C + 2^^'**'^* Posons

dt ^ dn ^ de ' edû ' en différentiant l'équation (3) par rapport à /, n... et eny re-

COMPARAISON DE LA THÉORIE AVEC LES OBSERVATIONS 405 gardant t, ieei f^'^ comme constants, on en déduira

^ = 2sinÇ+|««n2!;, ^ = -2 cos î -|« cos 2 Ç-

On aura donc pour Téquation de condition en longitude qu'il s'agissait de former

hvc ={i + 2e cos2 Ç) 8e + (1 + 2e cos Q tin . . +(28in!:-f-|«8in2î;^8<5 — ^2co8;-f-|ecos2î;^e8ô

-f-2»^')8mtO=^,-ro

Relativement à Téquation en latitude, on aura, en désignant par op rinclinaison de Torbite de m sur le plan de Fécliptique et par B la longitude de son nœud ascendant

8c = sin <p sin (t? — 0) ; on a d'ailleurs

et

- pi-ka m Gin in — H\

-r-2 = cos (p sin (» — ô), -7^ = — sin (p cos (t? — ô) ;

par conséquent

Isc = co8<p sin {v — Ô) 8(p

( — sin cp cos [v — Ô) 8Ô = «^ — «o«

Ces équations de condition {a) et {b) entre les corrections Sw, 86, 8«, 8w, 8wt'> et 8(p, 8ô des éléments elliptiques sont les

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plus générales que Ton puisse former. Chaque observation de la longitude et de la latitude donnant lieu à des équations semblables, la résolution de toutes ces équations fera connaître les valeurs des indéterminées 8n, Se..., valeurs qui seront les corrections à appliquer aux éléments de Torbite elliptique pour passer des Tables provisoires (c'est-à-dire uniquement fondées sur les données de la théorie) aux Tables définitives.

On pourrait évidemment suivre une marche inverse à celle que nous venons d'exposer, et se proposer de déterminer les corrections que doivent recevoir les éléments de l'orbite elliptique pour que les positions observées JUo et (Do concordent exactement avec les positions calculées X^ et (D^, ou pour que les différences Xc—X^ et (©c — (©o, entre le calcul et l'observation, soient nulles. Mais il est évident que les équations de condition que Ton formerait de cette manière seraient bien moins simples que les précédentes.

11. — Résolution des équations de condition.— Principe de la méthode des moindres carrés

Si les observations étaient rigoureusement exactes, il suf* lirait, en général, d'un nombre d'équations égal au nombre des inconnues pour déterminer les valeurs de ces arbitraires. Mais comme les observations ne comportent pas une exactitude absolue, qu'elles sont toujours entachées d'une certaine erreur, on est obligé, pour suppléer à leur imperfection, d'en augmenter beaucoup le nombre. On est ainsi conduit à un sys* tème d'équations en nombre bien supérieur à celui des incon-