COMPARAISON DE LA THÉORIE AVEC LES OBSERVATIONS

nues, et la question consiste alors à combiner toutes ces équations de manière à en déduire les valeurs les plus probables des inconnues.

Soient 0?, y^ z„ les corrections encore inconnues des éléments* et a, 5, c,... a^ , 5^ , 04 ,... des constantes numériques déduites de l'observation et que nous supposerons exemptes . d'erreur ; on aura pour les équations de condition qui déterminent x^y^z..

c, «4» «2" ^(^^^ ^^^ erreurs commises dans les observations successives, erreurs qa*il s'agit de rendre aussi petites que possible.

Or» d'après une règle donnée par Legendre et confirmée depais par les Recherches de Gauss et de Laplace, on satisfait de la manière la plus avantageuse à cette condition, en déterminant les corrections a?, y,z,.. de manière que la somme des carrés des erreurs e, C|... soit un minimum.

En désignant par V (e*) cette somme, on devra donc avoir

dœ dy

dx

Posons pour abréger

En développant, dans les équations (1), les carrés des seconds membres et les ajoutant ensemble, on aura

+ i^{bc) y^ + 2 (*')y'+E (''') •*' + •••

et les équations (2) donneront alors

Ces relations sont ce que Gauss appelle les équations normales du problème ; elles sont du premier degré et en nombre égal à celui des inconnues. En les résolvant par les procédés ordinaires d'élimination, on pourra donc en déduire les valeurs de ces inconnues.

La méthode que nous venons d'exposer, et qui porte le nom de Méthode des moindres carrés, est la plus avantageuse de toutes celles que Ton pourrait employer pour la résolution des équations de condition: elle offre, un moyen s(ïr et direct