FORME CANONIQUE DES ÉQUATIONS BU MOUV. ELLIPTIQUE
duisent aux suivantes :
dt* + r»
df T^ r» - **' d*z , uz
Afin de ramener ces équations à la forme canonique, posons, conformément à ce qui précède,
dx
dz
il en résultera
et, par suite, le système (D) pourra être remplacé par le sui* vani qui est du premier ordre :
dx da
dt ~ dx,'
dx, da dt ~ dx
dy M dt-dy,'
dt — dy
dz dH dt — dz/
dz, dH
dt — dz
l^B fonction des forces U ne contenant pas le temps t, Téqualion aux dérivées partielles du premier ordre, de laquelle
dépend la solution du problème, est
et, conformément à ce que nous venons de dire, il s'agira d'abord de trouver une intégrale générale de cette équation renfermant deux constantes arbitraires K et G.
Nous commencerons par transformer cette équation (1), en prenant, au lieu des variables a?, y, z^ celles r, \]/, <p, liées aux premières par les relations
(2) x=:r cos cp cos ij/, y = r cos ç sin «J/, ^ = r sin ç.
r est la distance de la planète au Soleil ou son rayon vecteur, ^ sa longitude et (p sa latitude. On suppose que le plan des xy est le plan de Técliptique et que Taxe des œ est la ligne des équinoxes. j
Les équations de la transformation sont alors
tang(p=|i
et Ton a
sin © = -?
dx dr dx"^ d^ dx'^ d^ dx
dS __ d% dr rf0 c?<p rfg çgj; dy "^ dr dy'^ rf<p dy ' d^ dy
dS d^^ ydSd^dSd^^ dz '" dr dz'^ d(f dz'^ d^^ dz
FORME CANONIQUE DES ÉQUATIONS DU MOUV. ELLIPTIQUE 81 En différenlîant Jes équations (2), on en déduit
dx = dr cos(p cosij/ — r 8in<p C08<j. d^ — r cosf sin ij/rfij/,
dy = dr cos © sin <)/ — r sin <p sin ^ d^ -\' r cos ^ cos ^rfij/,
dz z=z dr sin <p -f- r cos 9 d<f ;
d*où, en résolvant par rapport à dr, efij/ et d<p,
rfr = cos <p cos <j.dir + ^^^ ? sin «j/c^y -|- sin ff dzj
, — sin y cos <j/cfa? — sin y sin 4/tfy + CQS ^dz,
, cos^^rfy — ^in^dx
^ "" r cos (^
On a donc
dS , dS sin3> cosd/cfB sind/ dS
-T- = cos » COSJ/ -3 ^ ' -3 ^ :37>
oo? ^ ^ dr r d^ r cos <p a^
cfB . , d^ sin^sind'tf^B , costl dH
ay ^ ^ dr r d^ * rcosi^d^
ds . rfe , cos»rfe
dz * dr ^ r d^
Ainsi, la transformée de Féquation (1) est
w (f)'+Mf)'+^(?)'= <?+•=)•
Posons maintenant
/; /*!« /^ étant des caractéristiques de fonction; il est clair qu*on anra
(3) r M + ^ n* (-r) + ;ii^ n' (« = 2 (,^+ c)-
les accents désignant les dérivées de chacune de ces fonctions par rapport à la variable qu'elle contient.
On peut satisfaire à cette équation, comme il est aisé de s'en assurer, en prenant
riW=^, A'*W+^'=G'. /•i"(r)=2(f+c)-^|,
ce qui donne par l'intégration Par conséquent, Téquation
ou celle-ci
dr.
= H^ +JV^' -^,^ yy^ir + C)-^'^.
est la solution complète de Téquation aux dérivées partielles (4).
Les équations intégrales du problème sont dès lors, en désignant p^ A, ^, c, trois nouvelles constantes arbitraires,
(^) dE=^^ dG=^^ ^=' + ^'
FORME GANOISIQUE DES ÉQUATiOI<iS DU MOUV. ELLIPTIQUE 83 et Ton peut écrire
