I. — Réduction en tables des parties séculaires

La formation des Tables astronomiques exige, comme nous Tavons dit, qu'on développe d'abord avec tout le soin néces- ' saire les formules qui sont la représentation analytique des perturbations, et qu'on réduise ensuite ces formules en nombres. Ce travail est extrêmement long et délicat; mais une fois exécuté, il devient facile d'en disposer les résultats en Tables et de donner à celles-ci la forme qui convient le mieux aux applications.

Supposons, par exemple, que l'on veuille construire les Tables de Jupiter qui se rapportent à la longitude vraie &, et soient

les valeurs complètes des éléments qui servent au calcul de cette longitude. Il convient tout d'abord de réduire en Tables les parties séculaires L„ w,, E,, de ces valeurs. Or, d'après ce

qu*on a vu pages 383 et suivantes, ou a

L, = 160SiM(r,26 + 109306 ,87213^ [a]

Ainsi décomposées, ces expressions renferment chacune deux partie distinctes : une partie [a] ou [a] simplement proportionnelle au temps, et une autre partie [p] ou [p'] dépendant des puissances supérieures du temps. Les termes de la première partie sont donnés par une Table à simple entrée dite Table des époques^ et sont calculés pour le commencement de toutes les années du xix" siècle comprises entre 1801 et 1900 inclusivement; ceux de la seconde partie [p] ou [p'], calculés de dix en dix ans, pour une durée de 1000 années à partir de 1350, sont compris dans la Table des variations séculaires. Ces deux Tables qui se complètent Tune Tautre sont bien faciles à former.

Construction de la Table des époques (Tables 1^ II, III et IV de Jupiter)

D'après les expressions [a] et [a'], la longitude moyenne de Jupiter et celle de son périhélie, ont respectivement pour valeurs

Ces longitudes se rapportent à Torigine du temps, c'est-àdire à Tépoque 1850,0. Et comme on connaît les mouvements de ces éléments en une année julienne" de 365^25, savoir

CONSTRUCTION DES TABLES PLANÉTAIRES 4îi

rien n'est plus facile que d'en conclure ces mêmes mouvements pour un jour, puis pour 365 et 366 jours. On a ainsi

en i jour . . . 0%4',59'',2659,

en 365 jours. . 30,20,32,0557,

en 366 jours. . 30,25,31 ,3216 ;

en 1 jour . . . 0",159,

en 365 jours. . 57,864,

en 366 jours. . 58,022.

En ajoutant alors ces valeurs à celles de 1850,0 et ayant égard à Tordre des années ordinaires et des années bissextiles, on obtiendra les parties de la longitude moyenne et de la longitude du périhélie qui varient proportionnellement au temps, et pour chacune des années du xix' siècle. On formera de la sorte le tableau suivant :

année long moy. L long da périh. &

1850 160M',ir,26 ll%54',5r,4

Pour faciliter les calculs, les Tables donnent aussi les mouvements de L et de û, pour les jours, heures, minutes et secondes. Ces Tables, très simples, n*ont besoin d'aucune explication.

On trouve encore dans les mômes Tables la partie de la longitude B du nœud ascendant qui varie proportionnellement au temps, et son mouvement pour les jours, les heures, les minutes et les secondes. Nous en reparlerons au paragraphe I du chapitre III.

422 PARTIE n. — LIVRE II. — CHAPITRE U

Table des variations séculaires (Table V de Jupiter)

Supposons, pour construire la Table des valeurs de [p] et de [p'], que Ton veuille calculer les termes séculaires de la longitude moyenne et de la longitude du périhélie qui correspondent à Tannée 2100, par exemple. En prenant t = 2S0 et remarquant que u = 0,002^, on aura d'abord

on aura ensuite

Ces valeurs de L et de co sont données en centièmes de seconde pourle premier élément, et en dixièmes de seconde seulement pour le second. Ainsi on a

La même Table contient la partie séculaire de l'excentricité E dont l'expression générale est, d'après ce qu'on a vu page 383,

E, = 9952^^66 -f 171'^88u — 2^,39u« — 0^,05uS, Appliquée à notre exemple, cette formule donne

ou

En regard de E„ on trouve le logarithme de = — : — j^ ou du

tif SIQ 1

facteur par lequel il faut multiplier la fonction ESu^,, pour

avoir l&p ou la variation périodique totale de la longitude du périhélie. Ce facteur qui correspond uniquement à la partie séculaire de l'excentricité a ici pour logarithme .

Enfin la Table Y donne encore les termes séculaires de la longitude du nœud ascendant et de l'inclinaison <f^ de Torbite sur Técliptique mobile qui servent au calcul de la latitude. Ces termes, ainsi que les précédents, sont calculés de dix en dix ans et pour iOOO années à partir de 1350.

m. — RÉDUCTION EN TABLES DES PARTIES PÉRIODIQUES

Construction des Tables VI, VIT, VIII et IX de Jupiter, — Inégalités à longues périodes dépendant des arguments V,%VetW.

Les parties périodiques L^,, ô^, Ep et Zap que nous allons maintenant considérer renferment, outre les termes L^ , <op , relatifs à l'action de Saturne, l'ensemble des inégalités à longues périodes dépendantes des angles V, 2V, W, inégalités dont les expressions convenablement ordonnées peuvent être mises sous la forme générale :

I31L sinV 4" ^ cos V, d\L^ sin 2V + X< cos 2V, OÏL, sin W + X, cosW.

Bornons-nous à considérer l'ensemble des termes en Y et en 2Y qui affectent la longitude moyenne de Jupiter. Ces termes ont été calculés par Le Verrier dans sa théorie de Jupiter et.

424 PARTIE ir. — LIVRE II. — CHAPITRE II

après les transformations convenables d*arguments, il a obtenu pour leurs valeurs aux cinq époques fondamentales considérées :

(alnVJ (sln2V) (coiiV) (co8 2V)

1850 +i205'^96 — 9",33 + i3M7 0^eO

Les sinus et cosinus entre parenthèses sont les arguments dont chaque groupe de termes dépend.

Si Ton forme pour chaque colonne les différences A^, A^, A}..., puis qu^on développe suivant les puissances du temps, comme il a été expliqué pages 381 et suivantes, on aura

!OIL = + 1205^,96 — 27^68u - 23'',94u» + 0^,630», ^ = + 13,17 — 288,15i> + 6,59i>2 + ifilu\ DXL^z= — 9,33 + 0,57o + 0,65u« — 0,01uS 31^^ = 0,00 + 3,88u — 0,30u« — 0,06u^ '

Ainsi les coefficients OR, cD^... de L^^ et Lp^ s* expriment ici par des fonctions du troisième degré en t.

Comme les arguments Y et 2V sont semblables, on peut réunir les termes de DÏL et 3f^ avec ceux de DIL^ et «Û^i qui dépendent des mêmes puissances du temps et ne former du tout qu'une seule Table ayant V pour argument. Si donc Ton représente par Uq la somme des termes indépendants de u ; par U| celle qui dépend de la première puissance de cette quantité, et ainsi de suite, on aura pour exprimer la partie Lp + L^ = 8L de. la longitude moyenne qui dépend des arguments V et 2V,

. (111) . 8L=Uo + U^u + U2u« + U,u».

Sous cette forme concise, Texpression de 8L est facilement réductible en Table.

Supposons, par exemple, que Ton veuille calculer les valeurs de Uq, V^... qui répondent à l'argument V = 40* compris dans le premier quadrant. En recourant aux expressions (I) et à celles (II), on trouvera, tous calculs faits :

4- i206^96 (8in36*) = -f 708'\846 -f- 13,17 (COS360) = + 10,655

— 9,33 (sin 72*») = — 8,873

Uo = + 710",63;

— 238,15 (co8 36<») = — 192,667

+ 3,88 (cos 72*») = + 1,198

— 23'^94 (sin 36») = — 14^072 -f- 5,59 (cos 360) = + 4,522

+ 0,65 (sin 720) =+0,618

— 0,30 (cos 72«) = — 0,093

Uj = — 9^,02 ;

+ 0'^63 (8in36»j = + 0'^370

+ 1,57 (cos 36*») = + 1,270

• — 0,01 (sin 72») = — 0,009

— 0,06 (cos 72«) = — 0,018

Par un calcul semblable et tout aussi simple, on obtiendrait les valeurs de Uq, U^, Uj, qui se rapportent aux expressions de SE, E8<S, Sa, et Ton formerait ainsi la Table VIII où ces valeurs sont données de deux en deux grades. Mais

cette Table ainsi que celles VI et VII ont été condensées en une seule, la Table IX ; dans les applications, il sera donc commode d*y avoir recours.

ComtnuiUon de la Table X de Jupiter — PerturbaHons périodiques dues à t action de Saturne

En développant par rapport au temps l'ensemble des termes périodiques dus à l'action de Saturne et correspondant respectivement aux parties L^^, E^^, E8(3^^ et lap^, on les amènera, comme dans le paragraplie qui précède, à dépendre de la formule générale

Co + 84 sinr + Sj sin 2^ + ...

+ C^ cosr + C, cos 2r + ...

oùCo, S4, Sj... CoCj..., sont des coefficients fonctions implicites de u et u^. Sx désignant la perturbation totale de Tun quelconque des quatre éléments L, E, <o et a, on aura donc

8x=Co + U,u + U,u»

+ [S^+U<u + Uju«]sinr + [C, +U4u-f-UaU«]cosr + [Sj-f U^u + Uju^lsinar + [Cj + U4u + UaU«]cos2r^

La détermination numérique des coefficients C^yS^y G^... U^ et U) se fait par un calcul semblable à celui que nous avons effectué dans la construction de la Table VIII. Supposons, par exemple, que l'on veuille obtenir la valeur G3 que renferme la partie L^ ou $L de la longitude moyenne, et qui répond à l'argument Ç = 10».

CONSTRUCTION DES TABLES PLANÉTAIRES 4i7

On 8 d'après la théorie de Jupiter

Cj = + [— (r,09 — 0",02u] sin 3Ç ^[—O.IS — 0,12u] 8in4; + [+0,05 — 0,08u] sin SÇ 4.[+0,02 — 0,03<>]8in6|; + [+ 0,03 — 0,02u] sin 71:

+ 0^,05 sinSÇ + 0",01 singç + [— O'.IS + 0,03u] C08 3? + [ 0,33 — 0,Hu + 0,05u»] C084!:

— 0,11 ces se — 0,09 cos 6i: — 0,06 cos 7!;

— 0,04 cos SÇ — 0,02 cos 9?.

En prenant donc

S? = 2>, 4!; = 36», Sî = 45», 6!; = 54», Il = 63», 8? = 72% 9!: = SI»

et effectuant les opérations indiquées, on aura d'abord

— o',09 (sin a;;) = — 0^,041

+ 0,15 (sin 40 = + 0,088 + 0 ,05 (sin SÇ) = + 0 ,035 + 0 ,02 (sin 6Ç) = + 0 ,016 + 0,03 (sin 7î;) = + 0,027 + 0,01 (sin 9!;) = + 0,010

— 0,15 (cos 30 = + 0,134

— 0,11 (cos 50=— 0,078

— 0 ,09 (cos 60 = — 0 ,053

— 0 ,04 (cos80 = — 0 ,012