DÉVELOPPEMENT DES COORDONNÉES HÉLIOCENTRIQUES

Mais •„2^ CQ8 2a? + i d^in^œ 3 cos 3a7 + 3 cos a?

Sm se = — — ' J — ZZI — ' y

2 dx 2»

d^ s in "^sc

— ^^j— = — 2cos4a; -j-.2cos2a?,

cPsmSa? 5^ cos 5a? + 53^ cos 3a? — 52 cos 2a? .

substituant ces valeurs dans Téquation précédente et remplaçant œ par nt, on aura donc

- = 1 — e cosnt a

— -g (cos ^nt—i)

— Ô3 (3 cos3?î/ — 3 cosn^)

— -^ (cos 4n^ — cos 2 w/)

^ 2^ ^^^ ^^^ ^* "" ^^^ ^^® 3 w^ + 52 cos n^) \ — 2r5(3^<^os6«^— 2'cos4ni+5cos2n^)— ...

Il nous reste à exprimer v en fonction de L Or si l'on écrit Inéquation (21),* chapitre II, de cette manière :

sin^

cos- V

sm -u

-Vi~e 1 '

cos -M

et que, dans celte dernière, on remplace les sinus et cosinus par leurs valeurs en exponentielles imaginaires , on aura, e désignant la base du système de logarithmes népériens.

»'/^-fl V i —e ^u\/^^i

^vr*3^S5?r^*

9i LIVRE I — CHAPITRE IV

Posons

il en résultera

et, en prenant les logarithmes des deux membres, on aura

P ^ „ , log (1 - X c - » y/^) - log (i-x»"-\/^

expression d'où Ton tire, en développant les logarithmes et remplaçant les exponentielles imaginaires par leurs Taleors en sinus et cosinus,

Xsin w-f-^si^ 2^ +'r-sin 3u4-— )•

Maintenant, on a

u = n/ -f" e sin u, smu = = sin w^ -J- 5 sm 2 n< +

^ (3 sin 3 n^ — sin nt) -}-...

On a ensuite sin 2m = sin 2nt + e (sin 3nt — sin nt) + e^ (sin 4n^ — sin 2nt) + rg-g (4 sin nt — 27 sin 3n^ + 25 sin ^nt) -|-

sin 3m = sin Snt + 5 [3 sin 4n^ — 3 sin int)

+ 38 (^^ sin 5nt — 18 sin dut + 3 sin nt)

-f-j (9 sin 6nt — 42 sin Ant + 3 8in2nO+