DÉVELOPPEMENT DES COORDONNÉES HÉLÏOCENTRIQUES

IL — Autre forme du développement de r et de v:

Les formules qui expriment souç forme flnie les valeurs de r, nt eiv au moyen de la variable auxiliaire u, sont susceptibles de se développer en séries de sinus et de cosinus des multiples de Tanomalie moyenne n(, et Ton peut toujours représenter leurs coefficients par des intégrales définies. Ces intégrales se résolvent elles-mêmes en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de l'excentricité, et sont d'autant plus convergentes que cette fraction est plus petite. En les appliquant au cas des anciennes planètes pour lesquelles 0 n'excède pas 0,20560, on trouve pour les coefficients de r et de V des valeurs numériques qui coïncident exactement avec celles que nous avons déduites du tbéorème de Lagrange. 11 semblerait donc, d'après cela, que cette méthode n'eût pas dans la solution du problème qui nous occupe une grande importance ; car la détermination de ces coefficients a été, de nos jours, effectuée avec beaucoup de soin et le calcul en a été poussé aussi loin que le comportent les applications astronomiques. Cependant, comme la méthode dont nous parlons peut s'étendre aux coordonnées de deux ou d'un plus grand nombre de planètes, et que, dans ce cas, elle fournit un pro- » cédé très remarquable pour la détermination des coefficients du développement de la fonction R, nous allons l'exposer ici avec tous les détails convenables.

Considérons les trois fonctions u — n/, - , r — n^ dont les

valearSf sous forme finie, sont représentées parles équations

iOO LIVRE I — CHAPITRE IV

(14) (18) el (21) du mouvement elliptique, et posons

!u — n^ = A| sinn^ -}" ^2 sin2n/ -f- •••• 4-A/ sinin/-]-.., - = BQ'\'B^ cos nt -^^ B2Cos2nt + .... + BiCOSîn^-|"--» V — nt=z C^ sin nt -f- Cj sin 2nt + .... + CjSÎnin^^-- »

A|, B/, G/ étant des coefficients indépendants de nt, qu'il s'agit de déterminer.

Si Ton désigne par i et t'deux nombres entiers quelconques, et par n le rapport de la circonférence au diamètre, on aura, en effectuant l'intégration entre les limites 0 et tc,

/ cos i nt cos i' nt dnt = o ,

/ sin ( nt sin t nt dnt = o ,

dans le cas où i et t sont inégaux; el

cos*i«^c?n<=â'^>

s\n^intdnt=: - ir,

dans le cas de i = t'T Pour i = o, la première de ces dernières intégrales se réduit à 77 et la seconde à zéro.

Maintenant, si l'on multiplie la première et la troisième des équations (1) par sin intdnt et la seconde par cos inldnt^ puis qu*on intègre les deux membres, depuis n^ == o jusqu'à