DÉVELOPPEMENT DES COORDONNÉES HÉLIOGENTRIQUES ICI

ni = -JT, il n'est pas difficile de voir que tous les termes des seconds membres, à l'exception de ceux qui ont À/, B^ ou C/ pour coefficients, s*évanouiront, et qu'ainsi on aura

nt dntf

l A,- = - / (u — nt) sin t ;

I Vo

C/ = - / (t? — nt) sin int dnt.

r cos i nt dnt^

= fjf(«-„.

Dans le cas particulier de i = o, on a

Bo = — / r dnt.

valeur qui n*est que la moitié de celle que Ton déduirait de Vexpression de B/.

On peut simplifier les intégrales (2), en prenant pour variable indépendante u au lieu de nt^ et appliquant le principe de l'intégration par parties.

Considérons d'abord la seconde qui ne renferme que r, nt, et dnt. Les valeurs de ces quantités sont

r = a (i — e cosw), nt=LU — e sin u , dnt = (1 — e cos tt)c?M,

et, en les substituant dans Texpression de B/, on obtient (4) B,- = - / (l — e cosw)* cos i[u — e sînu) du.

Cette formule se simplifie encore par rintégration et devient

(5) B| == r- / sin i(u — e sin u) sin udu

= r- 1 sintiu — e sm u) sir

ITT / '

Dans le cas de î = o, on a

= - / (1 — eCOSî*)'

(6) Bo=- / a- ecosufdu = i +le^,

en ne prenant que la moitié seulement de l'intégrale (4). G*est le seul des coefficients A/, B,, d, qui puisse être obtenu de cette manière, c'est-à-dire sous forme finie.

En intégrant par parties les expressions de A,- et de G,-, et observant que u — nt el v - nt sont nuls aux deux limites nt=. oeX nt = tu, on aura

COS i nt -r-, dnt — -r- 1 cos * nf dnt^ Uni iTz I

dv 2 I '

COS i nt-r- dnl -- T- 1 cos i nt dnt^ dnt iTz I

DÉVELOPPEMENT DES COORDONNÉES HÉLIOGENTRIQUES 103 OU, à. cause que rinlégrale du second terme est toujours nulle,

du , C08 t ni -p- dnly ant

= T 1 cos t n^ 3— dnt.

x-K f dnt

On a d'ailleurs, par la différentiation de Téquation (21) du §111, chapitre II,

dv V i — g»

du "" i — ecosu

Farisant à Taide de cette valeur et de celles [a) les substitutions indiquées, on obtient, pour les expressions de A/ et de G/,

cos i{u — e sin u) du^

2^1 — e» / cos i{u — e sin u)

îiz / 1 — e cos u

du;

car les limites de u sont les mêmes que celles de ni.

En différentiant l'expression de A/ par rapport à e, on oblient

£^ z= -^ / sin î (ti — e sin u) sin wrfw,

iOA LIVRE I — CHAPITRE IV

résultat qui, étant rapproché de celui (5), conduit àla relation

m B,=ff.

Ainsi, on peut faire dépendre la valeur de B/ de celle de Af et de ses dérivées par rapport à e.