CHAPITRE I

Méthode de la variation des constantes arbitraires poar IMntég^ration des équations du mouvement troublé.

L — Considérations préliminaires. — Divers ordres d'approximation par rapport aux masses.

La détermination du mouvement des planètes autour du Soleil dépend, d'après ce que nous avons dit au paragraphe III du Chapitre I, de Tintégralion des équations différentielles (C) et des équations semblables relatives aux corps ni m'\.. Mais, dans Tétat actuel de l'analyse, cette intégration en termes finis est impossible, et Ton est obligé d'avoir recours à des approximations. La constitution de notre système planétaire, nous l'avons dit, offre pour cela cet avantage précieux que, les masses planétaires étant très petites par rapport à celle du Soleil, la fonction H dépendante de l'ordre des masses se

trouve être une très petite quantité par rapport à celle \ et

peut, dans une première approximation, être négligée. Les formules qui en résultent sont alors celles du mouvement

elliptique, et Ton peut, en partant de ces formules, parvenir à celles qui expriment le mouvement trDublé, soit en cherchant à déterminer les corrections que doivent subir ces premières valeurs des coordonnées pour représenter le mouvement varié, méthode qui est celle employée généralement par Laplace dans la Mécanique céleste^ soit en regardant Torbite de la planète troublée comme une ellipse dont les éléments varient à chaque instant par l'effet des forces perturbatrices, et cherchant à déterminer ces variations par Tcmploi de la méthode de la variation des constantes arbitraires que Ton doit à Lagrange. Lorsqu'on suit cette marche, qui est à la fois la plus simple et la plus naturelle, on est aisément conduit par rintégration«auK valeurs finies des variations Sa, le. Se... des éléments elliptiques, et, ajoutant ces valeurs finies à ces mêmes éléments ou constantes arbitraires, on en conclut celles qui conviennent au mouvement troublé ou a -|- ^^» tf + Se... En général, les quadratures d'où dépendent les va* riations Sa, Se.., ne peuvent pas s'effectuer exactement; mais on peut toujours les obtenir par des approximations successives. Pour cela, on commence par n*avoir égard qu*à la première puissance des masses perturbatrices, et Ton est ainsi conduit à ime première valeur approchée de ces éléments devenus variables. A Taide des valeurs résultant de cette seconde approximation, on en obtient une troisième dans laquelle il est tenu compte des carrés et des produits des forces perturbatrices, et continuant de la sorte, on parvient à des valeurs de Sa, Se, Se... aussi approchées qu'on le désire, et Ton arrive par suite à connaître, pour chaque instant donné, le lieu de Tastre dans son orbite avec toute la précision que les observations comportent.

MÉTHODE DE LA VARIATION DES CONSTANTES ARBITRAIRES i07