I) (II
^ f i^^ ^^ , V-x dK
dt^-r^z-0, — -f--^„,
R désignant la fonction des forces perturbatrices et — » —, —
dx dy dz
étant Jes composantes de ces forces dirigées suivant les trois
axes des coordonnées. Nous avons déjà dit que ces forces
sont très petites par rapport à celle ^ qui produit le mouvement elliptique.
Cela posé, admettons que les équations (I) aient été complètement intégrées, et proposons-nous de satisfaire aux équations différentielles (II), en faisant seulement varier les constantes que renferment les intégrales des équations différentielles (1).
i08 LIVRE II — CHAPITRE I
La solution compUMe de ces dernières équations a été obtenue au Chapitre qui précède, et nous avons vu qu'elle fournissait les six constantes arbitraires
a, e, c, (0, e, cp,
que nous avons nommées les éléments de Torbite elliptique de m. Conformément à ce que nous venons de dire, il s'agira donc de faire varier ces constantes arbitraires de manière à réhiblir dans les équations différentielles (l) la considération des forces perturbatrices, ou, si l'on veut, la présence des
termes -j— ? -7-? 3—5 qui constituent les seconds membres des dx dy dz ^
équations différentielles complètes (II).
Représentons d'une manière générale par
ce:î six éléments ou constantes arbitraires, et soient, au bout du lemps t,
^ dx dy ^f dz^
^^ ~'di' ^ ~" ^' ^ '^ dt
les composantes de la vitesse de m. estimées parallèlement ftux trois axes coordonnés.
Si l'on observe que chacune de ces constantes a, ô..., peut être exprimée en fonction du temps t et des six variables x^ ly, ^, (c^ y' , z\ et que, réciproquement, on peut tirer de ces six intégrales les expressions de chacune des variables.^, y..., en fonction du temps et des constantes a, 6... çr.
MÉTHODE DE LA VARIATION DES CONSTANTES ARBITRAIRES i 09
on aura les deux systèmes d'équations :
(ï) (ÏI)
^ = <Pa (a, 6, c, e, /", ^,/), c z= V^ {x, y, ^, a?', y*, z\t\
Ne considérons pour simplifler que Tune des intégrales (II), la première, par exemple,
L'effet des forces perturbatrices étant toujours très faible et leur action continue, on peut regarder les valeurs des coordonnées Xy y, Zy comme invariables pendant Tinstant dl. Ainsi l'équatioa (x), durant cet instant, sera satisfaite, qu'il s'agisse du mouvement elliptique ou du mouvement troublé. Mais, dans rinstant qui suivra dl, les composantes x.-i/^z' de la vitesse recevront des accroissements lx\ S/, lz\ représentés respectivement par les quantités inHniment petites
l^"^'^ Ty^'^ Tz^'^
et, dans ce cas, Télément a, devenu variable, devra être remplacé par sa variation différentielle qui est
(3) da = ('^i^4-^^ + ^^W- ^ ' \dx dx * dy dy ' dz dz )
Cette relation et celles analogues que Ton en déduirait pour les autres quantités 6, c, 6... devenues variables, permettront
donc de rétablir, dans les équations différentielles du mouye-
..,.*. 1 j .. j . dR dR cm
ment elliptique, la considération des termes -t-j -t-j -7- ou
d'avoir égard par la seule variation des éléments a, 6, c... à Taction des forces perturbatrices.
Nous allons donner à celte expression (3) une forme plus commode pour les applications, en substituant aux dérivées
partielles -r-? -t-j -^ qu'elle renferme, les dérivées de R
prises par rapport aux constantes ou éléments elliptiques a, b, c... Dans le calcul des variations de ces éléments, ce sont, en effet, ces dernières dérivées que Ton a besoin de connaître. Remarquons pour cela que R étant une fonction de a?, y, z^ et ces dernières des fonctions de a, 6, e... ^, on a
(m__dK^da^dRdb dR dg
dx da cUc *" db dx * *" dg dc$^
dR dR^da^^dRdb^. dR dg
dy da dy ~^ db dy '^ * dg dy^
^^dRda^dRjib^ dR dg
dz da dz '^ db dz "^ "^ dg dz^
expressions qui, étant substituées dans celle de da, donnent
fia — {— — 4- — — 4 — ^\ ËE ,ii \dœ' dœ ' dy dy ' dz' dz) da
, fda^ db^ , da^ db^ ■ da^ dh\ dR , + \dx' dx '^ d^ dy'^ dz' dz) db
(da dg , da dg . da dg\ dR . '^\dz'dx'^ dy dy "*" dz' dz) dg
MÉTHODE ÛE LA VARIATION DKS CONSTANTES ARBITRAIRES lil
Mais la fonction R étanl indépendante de x^ y\ z\ ses dérivées prises par rapport à ces trois variables devront être nulles ; ainsi
rfR rfR rfa . û?R ûfô .d^dg
dx''^ dadx''^ dh dx''^ ^ dg daf^^'
cm.rfR^ , û[R^ ■ cfR dg
dy''~ da dx/"^ db dt/'^ ^ dg dy'"'^'
c[R__cm^ c?R rfô , dVi dg
dz'^ da dz''^ db dz' '^ ^ dg dz "~ ^•
Multipliant la première de ces expressions par -rp la seconde
par —7 la troisième pa^ — ? puis retranchant de la valeur
précédente de da la somme de ces produits qui sont séparément nuls, on trouve
dn. (da dh da db .dadbdadb da db dadb\dR cil ~\dx'dx dxdaf'^dy'dy dydy'^ dz'dz dzdz'Jdb
f/da de 5[û£fc . ^£fc ^ÉLa^^H.— cto dc\dK
"^Xdx'dx dxdx'^di/dy dydy'^ dz' dz dzd£) de
, fdadg ^i£\^^ fîîf^ i f^?fe dadg^^
"+■ W' dx~dx ete'"*" dy' dy"' dy dy''^ dz' dz dz dz') dg'
expression dans laquelle la dérivée --z- a disparu, comme disparaîtraient d'ailleurs, dans les valeurs de db, de, etc., les
. ^ rfR rfR dérivées^,—'.-
En employant les notations symboliques (a,6), (fl,c)... (a,^),
. , ^ dK dR dR
pour représenter respectivement les facteurs de ^> "X''"' ^'
on peut mettre cette expression de da sous la forme abrégée que voici :
,, dit , ^v ci?R , / sdR . , . .dR
ill. — Propriété dont jouissent les coefficients de la FORME {a, b).
Cette expression de da jouit d'une propriété fort remarquable, et qui consiste en ce que les coefficients qui mulii^
plient les dérivées partielles ^» 't-' etc,, deviennent indépen^
dants du temps après la substitution pour a?, y, z,x\ y\ z' de leurs valeurs en fonction de t et des éléments ou constantes arbitraires a, 6, c...,^.
Pour démontrer cette importante proposition, il nous suffira évidemment de former la différentielle par rapport au temps de chacun des coefficients ci-dessus, et de faire voir que cette difTérentielle est toujours identiquement nulle.
Considérons, par exemple, la première de ces fonctions que nous avons désignée par [a fi)
-^ da db da db .da db
^ ^ ^ ~ dx dx dx dx ' dy dy
rfa rf^ da^ db^ du rfô , dy dy ' dz dz dz dz'^
MÉTHODE DE LA VARIATION DES CONSTANTES ARBITRAIRES Jf3
en la différentiant par rapport à ^, on a
,. ,. da^^db^ ^^,^t^j^ jdb da
^ ' ' cto' dx dx dx* "^ dx dx' dx dx
, û^ -rfô ^da^ db j^db^.da ^ db da
"^ dy' dy~ dy dy'^ dy dt/ dy' dy '^
"^ dz'^^dz "^ dz dz''^ dz^ dz ~ ^ d/ dz
Or, a étant une fonction de a?, y, z^ x\ y\ z et de t, il devra en être de même de 3— Si donc l'on forme d'abord cette
dx
dernière expression et qu*on la différentie ensuite par rapport au temps, on aura, en remplaçant — j -^j ^ par leurs valeurs
a>\ 2/9 z\ et posant, dans les équations (I), U = ^> d'où
dx^d^ ^rfU ^'rfU
W dt'^ dx' di"^ dy dt ^ dz'
on aura, disons-nous,
^ \ dxdi ^ dx'^ ^ dxdy ^ ^ dxdz
^ ^\ ^ d^a dU j^ d^a dV d^a d\} \ "* dxdx' dx ' dxdi/ dy "• dxdz' dz
Hais, en prenant la différentielle complète de a par rapport à /, on a
cUt j^ 1 da y . da j, . da j --TT dt + -r-dx + 'Tf'dy + -T- dz dt dx * dy ^ ^ dz
Si Ton substitue, dans cette équation, à la place decte',rfy',
ASTAonOMlB THfoEIQUI g
114 LIVBE n — CHAPITRE I^
dz', leurs valeurs tirées des équations (a), son premier membre deviendra une fonction de œ, y, z, x\ y', z\ et ce premier membre ne cessera pas d^ètre identiquement nul. Si donc i*on suppose cette substitution effectuée, et que, dans réquation résultante, on fasse varier l'une quelconque de ces quantités, celle X par exemple, on aura
dœdt ^^ ûte* ' dxdy ^ * dxdz '
, d^g c?U , d^a c?U d?a rfU "^ dxdœ dœ •" dxdy' dy "^ cterfz' dz
,dad^\5 da cg*U , rfa c?U
et, par suite, la valeur ci-dessus de c? -j- > deviendra
^da (da<P\} da rf*U , rfa ^^\j>
cte Vcte' cfa?* ' c^y dxdy ' rf^' dxdz)
Maintenant, si Ton différentie par rapport au temps la
valeur ci-dessus de 3-7) on trouve dx
^da { d>a . d'^a , d?a , d?a , dx'^X dx'dt '^ dxdcxS ^ "*■ dydy' -^ "*" dzdz'^
, rf^g o?U cPg çgU , c^^g cflj .
On a d'ailleurs identiquement
da j^da , j^ da t \da , ■5? + ^^+ dy^ +5;^
, fl[g^c[U , rfg^c[U , rfg ^
'^ daf dx'^ dy' dy '^ dz! dz ~' ^'
équation qui étant différentiée par rapport à x donne^ en remarquant que U ne dépend nullement de ai\ y\ z\
dx'cU'^dx ■*" dxdx' ^ + dydx' ^ »" dzdx'
,d^ad[], d^a dU . d^a diJ * dx^ dx ' dx'dy* dy "^ dx'dz dz
Ainsi, la valeur de d -7-7 se réduit à — -r dt. En écrivant dx dx
le& autres relations analogues, on a donc
,çKa î^^ ti— — — dx d—— — dt
dx dx ^ dy dy ^ dz' dz '
etc.
En substituant ces expressions et celles de d -7-» à -;-> etc. ^ dx da
dans la diflerentielle complète de (a, b\ on s'assurera aisé» ment que
d(ayb) = o, d*où résulte
(a, b) = constante.
On prouverait de la même manière que
(a, c) = const., [a, e] = const., (a, f) = const., {a^g)^const.
Ainsi, en se reportant à la valeur (A) de da, on voit que la variation différentielle d'un élément quelconque da de tor^ bile die m se trouve exprimée au moyen des différentielles partielles de la fonction R, prises par rapport aux cinq autres
^éléments b, c.,,g^et multipliées par des fondions dea,à,c...g qui jouissent toutes de cette propriété remarquable de ne pas contenir le temps d'une manière explicite.
