IV. — Remarque sdr le calcul des coefficients

DELA FORlfE {a, b).

Les coefficients de la forme (a, b) qui entrent dans les expressions des variations différentielles des six éléinenls a, b, c, g y résultent de la combinaison deux à deux de ces six quantités. Le nombre de ces coefflcients est donc de trente. Mais, si Ton remarque que le coefficient (ft, a), par exemple, se forme en permutant entre elles les lettres a et ô du coefficient (a, b\ on voit que le nombre de ces coefRcierits pourra être réduit à quinze ; car, si Ton effectue cette permutation dans Téquation (a), elle donne

., . db da db da ,

valeur qui est la même, au signe près, que celle de (a^^); ea sorte que généralement

(ô,a) = — [afi).

Pour des coefficients formés des deux mêmes lettres, tels que (a,a), (6,6).... (^,^), on aurait évidemment

Maintenant, si Ton écrit les valeurs des six variations différentielles da^ db....i dg, en faisant usage des notations sym-

aiÉTHODE DE LA VARIATION DES GONSTAIVTES ARBITRAIRES 117 bolîques que nous avons adoptées, on aura

db . . rfR , ,- ,dK , - ,- .rfR

y * A ^"^ / \^R /IL \^ f I / \^

Ainsi, le nombre des coefficients qu*il y a réellement lieu de calculer se réduit à quinze, et ces coefficients sont les suivants : * '

V. — Cas ou L*uiiE des deux abbitbaiiies qui e^ttrext daxs le

COEFFIOEIfT (a, b) EST USE FO!fCTIOX DE FOXCnOXS.

I^oos allons examiner le cas où Tune des arbitraires, a, 6, oai ent>^n^ dans la composition do facteur X b), celle b^ par execupl^v est une fonction de certaines quantités %, % y, que nort» ^apposerons donnée^ immédiatement en fonction de

Reprenons à cet effet Texpression de (a, b), savoir

s ,. £^ ^ da dh , da dh

^ * ' dœ' dx~~ dx dx'^ * dy' dy

dy dy "^ dz dz dz dx'

On anra évidemmeQt

dh^d^d^ \i^d^ \d^d^ ctbo ^^ di. dx "^ d^ dœ dy dx '

db db doL dh d^ dh dy dx' rfa dx' "*" rfp dx' ' dy dx

db ^d7. ,dh^ .dbdi dy dddy'^ dp dy ' dy dy

et, par la subslition de ces valeurs dans l'expression ci-dessus de (a,ô), il en résultera

db /dadçL da d(x. . da da.

^ ' ' doL \dx' dx dx dx* dy dy

da dv^ ,dadcL da rfa \

dy dy ' dz dz dz dz')

, rfô (da dp da dp .da rfp

' dp \dx' dx dx dx''^ dy' dy

dy dy' "•" (/y c?^ dz dz)

\ db /da d^ da dy , da dy

"^ dy \dz' dx dx dx' "•" dy' dy

da d^ j,dad^ da df\

dydy'^'dzdz dzdz')^

ou, en employant la notation symbolique adoptée, (0 (a, *) = (a, .) £ + (a,p) ^ + («, y) ^-

Ainsi, la recherche des coefficients de la forme (a, b) se ramène, dans le cas considéré, à celle des coefficients (a, ol), (a, p), (â, y), ce qui ne peut offrir aucune difficulté, puisque nous avons supposé que ces derniers coefficients étaient exprimés immédiatement en fonction de Xy y, z, x\ y', z\

ARBITRAIRES A l'oRIGINE DU TEMPS.

Les fonctions de la forme (a, V) devenant indépendantes du temps ^, lorsqu'on y substitue pour x, y, z, x\ y', z leurs -valeurs en fonction de t et des arbitraires a, h, c, ^,on peut, après la substitution, y faire t nul ou égal à une constante quelconque. Nous allons voir que, lorsqu'on prend pour arbitraires de la question les valeurs initiales des variables a;, y,Zy a)\ y\ z\ il en résulte des formules extrêmement simples.

Soient a?Q, yoï-^oî^o» ^o» ^Is ^^^ valeurs de ces six variables à Forigîue du temps, c'est-à-dire quand ^ = o. On aura, d'après la formule (a)

da db , da db da db

et, comme rien ne s'oppose à ce que Ton fasse a = x^^ ^=yo» c = Zf^y etc., on en conclura

(a?o» ^o) = — *» (yo» yo) = — *> (^0» ^o) = — i-

i20 LIVRE II — CHAPITRE I

Tous les autres coefficients (a7o,yo)> (^o»yo)> (^o> -^o)» ®^c» seront nuls, en sorte que Ton aura, pour déterminer les variations différentielles des arbitraires ocq, y^..., Zq, les six équations

dcOq

db

dR

dmC

dt

dR

dyi:

dx^ dt

dR

-dz':

dt

dR

dx^

dt

dz', dt

dR -dz.

Ces formules sont, comme on le voit, d'une extrême simplicité: malheureusement, leur forme est plus curieuse qu'utile; car le. système des constantes arbitraires â?^, ^q-m-^o 4^^ nous avons considéré ne se rencontre pas ordinairement dans les questions de Mécanique. Telles qu'elles sont, cependant, ces formules vont nous permettre d'exprimer très simplement les dérivées partielles de R en fonction des variations des arbitraires, question inverse de celle que nous avons résolue au paragraphe II.

- On a, en effet, en considérant H comme une fonction des arbitraires âîQ, yot -^o» ^o> ^o» -^o» ®^ ^^ dernières comme des fonctions de a, ô, c, c, /*, g^

dK rfR ctop y rfR rfyp c?R dz^, da dœ^ da '^ dy^ da ' dz^ da

, rfR c^ , rfR c^ , rfR dz^ "^ rfa?^ da "* dy'^ da "* dz'^ da '

ou, en mettant à la place de ; — » -7- > etc, leurs valeurs tirées

dxQ dy^

MÉTHODE DE LA VARIATION DES CONSTANTES ARBITRAIRES 121 des équations précédentes,

dK ctop dxQ ,d^o dj/l^ t^z^ dz^

da da de *" da cf^ ' da dt

^dx^dx^ ^dy^d^ __ dz^ dz^

da dt da dt da dt

Mais, en différentiant par. rapportât leis arbitraires ^of2/o»^o> coq,.. regardées comme des fonctions de a, b, c.g^ i*on a

dXn cfa?Q da ^^ dx^ db ^^ dx^ dg

dt "^ da 'di'^ db 11^ dg lû'

^dy^da.dy^db^ dy^ dg ^

dt da dt'^ db dt'^ dg dt'

dz^ dz^ da , dz^ ^ i i Ç[^ Ç^.

dt~ da dt"^ db dt'^ ' ' ' '^ dg dt'

Si donc Ton pose

^£^ I ??£fl dz^ dz^dzi^ db da'^ da db db da^

W L"»J — eto, de de da'^ da de

^yp c^yo ■ d^ù d^i dz^ dz^

de da * da de de da

et trois autres combinaisons analogues pour les coefficients [a,e], [a/], [a,g]); on obtient

expression dans laquelle les coefficients de la forme [a, 6] jouissent de la même propriété générale que ceux de (a,6). Comme au paragraphe IV, on a ici

[a,a] = o, \bib\ = 0. . . , l^,^] = o, et

On peut donc, si on le veut, présenter sous la forme suivante l'ensemble des formules analogues à celle (5) :

g=[,,»if+[,,.,f+ +[m|.

5f = -Wlf+Mi- + + (M|.

On déduit immédiatement de ces équations le théorème suivant : La variation de la fonction perturbatrice R, en tant qu'elle dépend des variations des éléments a,b,c...,g du corps troublé, est une quantité toujours nulle.

Car, si dans la différentielle complète de R, savoir

-^da + ^db+-dc^...+-dg,

on substitue à -r-? -rr' etc. leurs valeurs ci-dessus (C), on da db '

tombe sur une expression identiquement nuUe^ ce qui tient à ce que l'on peut supposer, comme nous Tavons vu (§ II), que Torbite reste constante pendant Tinstant dt, et qu^elle ne varie que de cet instant au suivant.

Nous ferons encore remarquer le résultat suivant, qui se déduit aisément des valeurs (1) et (4) de (a,6) et de [ayb] :