I. — Exposition du calcul complet des quinze

COEFFICIENTS (a, b).

Nous allons maintenant appliquer la méthode d*intégratîoa qui précède à la recherche effective des variations différentielles des six éléments ou constantes arbitraires qui entrent dans les formules du mouvement elliptique.

Nous commencerons d'abord par remplacer les six arbitraires que nous avon:^ considérées jusqu*ici, savoir :

a, b, c, c, /; g, par celles

a, e, cp, K, l, 0)^, <*)

qui résultent des intégrations obtenues précédemment. Les

(1) Pour plus de simplicilo, nous prenons 1* au lieu de rexcentrlcité e, la constante K à laquelle cette quantité se trouve lice par la relation

2"* au lieu de Télément e, Tarbitraire l, et 3* au lieu de Tangle u, celui «tj, compris entre la ligne des nœuds et le graod axe de Torbile. Plus tard, nous remplacerons ces constantes par leurs valeurs en foDCtion des arbitraires usuelles.

mTÉGRATION DBS ÉQUATIONS DU MOUVEMENT TROUBLÉ 1^5

quinze coefficients que nous aurons à former seront alors les

suivants :

Présentons d'abord un tableau des formules dont nous aurons à faire usage. On a

[1] r» = a-» + y» + x*, y/iX^ + dd"

[2] .y' - a^y = DC. f*^^ '^"« '^ = OC '

[*] yz' — y> = ar, ^

[13]K» = a*(l-e*), *■ ^ ' ' r o [14] at = K C0S(p,

[6J^=Va(l-e»), • [151.0C'=:K8in^co8 6, [7] r = a (1 — c co8«), [16] 3^" = K sin cp sin e,

[S] t-\-l = a'{u— e sin «), [-47] gin» = £ w

P] '■ = 1 + e cÔ8(t? - .0,)' [18]rco8»=a;co8e-|-y 8in6W,

L J ' «' er , V îK» + ai.'*

(1) En posant

on rend ORlIa équalioo identique avec celle (9) de la page &8.

(2) Cette farmu!e se déduit de celle [9], en ayant égard a l'équation [13].

(3) En projetant le rayon vecteur r sur l'axe des i, on a s = r sin « tin p ; d'où résulte la formate [17 J.

(4) La formule [18] s*oblient en projetant d'abord r et ensuite x et y sur la ligne des noeuds. On lui donne ta seconde forme indiquée, «n ayant égard à la relation [11],

II résolte de ces formules qae

a == fond. [x\y\z\r)... équ. [5],

6 = fond. (at',syc'0 équ. [12],

K= fond. (DC,^',î)C").. équ. [ISJ,

^ =fond. (DC,K) équ. [14],

/ - f = fonc. (a,K,r). équ. [8] et [7], to)^ — V =:fond. (fl,K,r). équ. [10], r = fond. (a?,y,z)..... équ. [1], X = fond. [œ,y,x\y'). équ. [2], OC' = fond. (^,y,yy') équ. [3], 9^'+ fond. (Zjajj-a-V). équ. [4], t?= fond. (»C',X^K,r,3')équ. [19].

On a ensuite

{,\ \dl dt d^ ^.

^^^ [d^^di^' dt -^ dt'

dv ocz dv z cosy .

dœ r* sin <p cos v df^ r sin* <p cos©'

^ ^ ]dy r^ sin <j

dv l dz dr\ 1

dz'^r^ sin (p cos v ' rf^ \ dt dtjr^ sin y cos v '

(a) Ces rormules s'obtienaoDl en difTérentiant saccessivement par rapport àaî,y' el s' Téqu. \Ti\ du groupo (II).

(6) Ces furmules résultent de la 5* des équations (III).

(r) On obtient ces valeurs en.dlffôrenlianl l'équallon [17J du groupe (II), et ayant égard à la relation [1].

IXTÉGRATION DES ÉQUATIONS DU MOUVEMENT TROUBLÉ t37

\ dx dr dx r dr' dy r dr^ dz r dr^ 3?0 DC^cos^O c?e cos^e.

If) i^~ 1 rf£^ cogy ^ 1

^-^ I rfDC "" K sin cp c/K K sin <p K tang ^ '

(^) j^, = r8in<p cost?;

W j^. = ^C08<pC08t>;

d^ ___ ^ cos ^ .

rf^'"" K 8in> cp'

(d) Cas formules sont données par la 5* équ. dn groupe (III), en y considérant a et E comme des constantes et ayant égard à la relation [Ij.

(«) On dédutt ces formules de lequatloD [12J du groupe (II).

(/) Ces valeurs sont fournies par Téquatlon [14] du groupe (II).

(p) En dlfTérentianl la valeur de K par rapport à s' et observant que cette variable n*enlre pas dans DC, on trouve, en effet,

— -; = — a5---+l/--- = sln9(iB cos0 -f y sln9) = r sln f cos v,

{h) L'équation [11] donne, en la dilTérentiant par rapport à s',

ou

Mais, d*après les équations [14], [15], [16], on a

(y^w x^') =: K sln r (x cos 0 + y sln9) = Kr sla f cos « DCrrKcosç», V'(5c«T"5cS=Kiinf; on a donc

dp r

(t) De U valear [12 1 on ilédali, en la différentiaDl p«r r>|>port à s*,

liais

9C'« + OC'v = - 2>C», DC = Kcosy, OC' = — Ksluf cosO; oa a doac

<fs"~ KslnSf

, ., ( dK , dR , rfK

Valeurs de quelques combinaisons fondamentales.

Nous allons rapporter ici les valeurs des principales combinaisons dont nous aurons à faire usage dans le calcul des coefficients (I). On a

[a] { (DC,»^) == ^\ {tK.,î)C) = — DC', (DC',DCT =^. '

[b] \ (a,DC.) = 0 (a,D(") == o, (a,9C'Q = o. (DC',DC) = • (?m:,DC') = — ÏK!\

[c] \ (»C'\DC) = — {p^,m!') z= DC'. {fK\tK') = — (X',9C'0 z= — DC'

(m:,K) = (DC,DC') ^ + (9<:,DC'') f^ = 0.

[rf] j (^K',K) = (OC',DC) I + (OC',9C'0 Y^ = o. (DC^K) = (»C^DC) I + (DC^DC) -.' = 0.

[e] I (Ô,DC) = (9C',DC)^ + (c^^.^) ^ = - 1.

(j) On démontre aisément celle proposllion à Taide des équations [2] [3] [4] du groupe (II) et pour loule autre fonction x àes arbitraires DC', 2K', DC.

[jJCes relations s'obtiennent en formant à l'aide des équations [2], [3], [4] les dérivées partielles de OC,cX'etDC' par rapport aux variables a?,y,s a;',y',s' et substituant les résultats dans l'équation (v) du g III, Chapitre I.

[6] Il faut, pour obtenir ces valeurs, joindre aux dérivées ci-dessus celles relatives à Tarbitraire a, et que fournil Téquallon [5].

[c] Ces équations résultent de ce que Ton a généralement (6,a) = — (a,6}.

[d] On obtient ces relations en appliquant la formule (C),Gbap.I, et ayant égard à la valeur de K.

[<;] La substitution des valeurs (e) et [c] donne

(0,tK) = — 1 — zy^^^ Icos^O = — 1.

b) I «l,r) = ^(».-+îw' + *0 = 2a>^-

Valeurs générales des combinaisons de l et de ta^ avec une constante quelconque /i^.

D'après la cinquième équation du groupe (III), on doit avoir

Z = — / + fonct. (a, K, r).

Si donc on applique à cette équation la formule (C) et qu'on remarque que l est indépendant des variables x\ y\ £, on aura, par rapport à une constante quelconque x,

^ ' *' dxdx^dy dy' ^ dz dx)

[n On a

^^••^^ -"V^ dx' ^ dy dy' ^ d9 dz'/" ri* (feC + ^ dy' + ' di'J

valeur qui doit être nulle eu verlu de l'équation [j], puisque f est une foDClion dea arbitraires ^, fK.'^ OC*.

[g] SU dans Téquation

, . 1/ da , lia , da\

oo met pour -^) —79 tt leurs valeurs [a], on obtient le résultat cité^ \h] Od panrieol à ce résultat par la fubetltullon des valeurs \f] et [g]*

ASTRONOMIK THÉORIQUK' 9

JV

oa, en vertu des équations (cf),

On a S* équation (III)

<D, = » — fonct. (a, K, r).

On a donc, par rapport à une constante quelconque x»

/dv dy , dv dj , cfo di\

"Xdxdx''^ dy dy' '^ dz dz'J

+ [(Mt + (K,.)^].

ou, d'après les équations (e), et en considérant v comme une fonction de cp, (équ. [17]),

r sin 9 cos v dz'

'( "*"r« sin 9 cos î? \ c^ "*" ^ rfy' ' '^ c?r/

Détermination des quinze coefficients (I) I. — Valeur de (a,K). — On a 3« équation ^III) K = fonct. (DC,D(1',DC''),

EL

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DU MOUVEMENT TROUBLÉ 13i

d'où, en appliquant la formule (C),

Mais, d'après les équations [6],

(a,DC) = o, (ûX) = o, (a,9C^) = o;

OD a donc

II. — Valeur de (a,^).— cp étant une fonction de S>C,DC',DC% on a semblablement

d'où