CHAPITRE I

^n y4» ^i ■> ^a» y%-^ii ^»» ys» ^z ^^^ ^^^^ coordonnées respectives de ces corps, rapportées à leur centre commun de gravité, centre que Ton peut supposer en repos.

Entre ces trois systèmes de coordonnées et les masses, on aura d'abord les trois équations linéaires suivantes :

Posons

Pi =«*^8+p4^4»

y» = *8^3 + Pz9v ^i = *4^5 + P<^6»

«<» «2» *8» Pi» P2» p8 étant des coefficients constants et g^j^r^.., q^ six variables nouvelles qui pourront remplacer les neuf coordonnées a?!, x^, a^si y^» y2» î/z'^ ^0-^2» ^3»^^ ^'^'^ assujettit les constantes a|, «3... àsalisfaire aux deux relations linéaires suivantes :

"liPl + ^2P2 + 'W3P3 — 0.

En joignant à ces équations les trois relations :

|[x z=m^0L^ +^2»î +^3*a> fx, =m,.6î +m,p| +m3pî, o = w^a,p, + maOtjP, + »i3»8p8.

l'expression T de la demi somme des forces vives du système deviendra

et si l'on pose

P4 Pa Ps ^ P

puis que, dans la relation T = U — H (H étant une constante arbitraire) , on substitue à la place de T et de U leurs valeurs transformées à l'aide des relations (2), on aura, en faisant usa^e des formules connues de Lagremge,

^ dt^ '^ dq' ^* dt^ ~ dq^

d^d\l d^qj, dV

^ dt^ ^ dq^' ^< dt^ "^ dqi^

d^ dV d^ rfU

\ ^ df^ '^ dq^ ^* dt^ ~ dq^

C*est la forme que Jacobi a donnée aux équations différenlielles du Problème des trois corps. Ces équations se rapportent, comme on le voit, au mouvement de deux corps fictifs |jl

et 1*1 .

On a maintenant, pour exprimer les distances mutuelles

52 LIVRE l — CHAPITRE l

m^m^, m^m^^ m^m^, des trois points considérés,

pî = (a;, - .T.)» -H (y, - y.)« + (^,- -,)*. p| = {X, - x^Y + (y, - y,)» + {z, - z^f.

pi = [o^t — «ï)' + (y< — Vi) + (-«^t — -'a)'.

el, d'après les formules (2),

' pî = (a, -«,)»(7Î + ?? + ?!)

+ (Pa - P3)* (ïl + ?î + 9Î) 4- 2 («j — a,) (p, — Ps) (9W» + îs?! i- ?»9«);

(o; ( +(P,-p3'Mîl + ?? + ?!)

-f 2(a, — a,) (?4 — P3) (Ç.îi + îsîi + î»*?*); pl=(«,-a,)Mgî + 9l + ?l)

+ (P, - Pi)' (?î + ïî + 9l) 4- 2 (a, — aj) (p, — pa) ((/.Çj + Çs?* + <7sg«)-

Par conséquent

(*-rf?r=-S^K*^-='3y^?5+K-*3)(P»-P3)?c].

*^=2^[(P2-P3r?.+ U2-«3)(Pa-p3)95l-

A la seule inspection de ces formules, on reconnaît que

d'où résultent les trois intégrales

Ces intégrales sont celles des aires dans le système que nous venons de considérer.