XV. — Valeur de (ii)|,/). — On a

l=z fond. (^, r, a, K), et par conséquent

On a d'ailleurs

(cO|a) = o , (w^K) = — i,

en sorte que, remplaçant (a)^r)par sa valeur [h] et ayant égard à la première des équations (d), il vient

substituant dans cette expression pour -^ et — leurs valeurs

tirées des équations [8] et [10], en y regardant e comme une fonction des arbitraires a et K, on trouve, après quelques réductions faciles,

{iùi Q = o.

G est le dernier des coefficients qu'il nous restait à obtenir.

II. — Variations différentielles des six constantes arbitraires QUI entrent dans les FORMULES DU MOUVEMENT

elliptique.

A l'aide des quinze coefficients I, II... XV que nous venons de calculer, il est maintenant bien facile de déterminer les variations produites par Faction des forces perturbatrices sur les six constantes arbitraires

a, /, K, <û|, 6, cp.

Reprenons, à cet effet, la formule générale (A) qui donne l'expression de la variation d*un élément quelconques, savoir :

da / ,N û?R , / N c?R I I / V û?R

H = (^'*^ Ih + ^^'") rfc + •••• + (^^^^ W

et remplaçons-y successivement a et 6 par les constantes a^L.*. <p. Il est aisé de voir que les résultats auxquels on parviendra de cette manière seront les suivants :

Combinaison de a et /

(a) da = la? ^ A, dl = ^ 2a^ ^ dt;

car, à l'exception de {a,() pour la première combinaison, et de {l^a) pour la seconde, tous les autres coefficients sont nuls.

Combinaison de K et (0| ,

(à) dH = -7— d6, d(û^ = — -1^ dû — y . ' -r- dt; ^ ' aw^ ' aK K sin cp dt^

il^S LIVRE It — CHAPITRE H

car, à Texcepiion de (Kfco^) pour la première combinaison et de [o}^,K) et ((o^f^p) pour la seconde, tous les autres coefficients ont des valeurs nulles.

Combinaison de 6 et ^

^ ' K sm (p rfçp / K sm op rfw^ K sm (p rfe

car, à Texception de (0,(p) pour la première combinaison, et de ((p,6) et (op, (0|) pour la seconde, tous les autres coefficients sont nuls.

Il nous reste à remplacer /, K et «o^ , par les constantes

qui sont celles communément employées dans les théories astronomiques. Or, si Ton remarque que ^ et K sont liés à e, e et o> par les relations suivantes.

ni =z c = t —■ (ùy K = ^[M (i — e*), a^n^ = fx, on aura d'abord

ou, en remplaçant dn par sa valeur — - - rfa,

(rf) rfe = rf<i> + nc?^ — - ^^^^ da.

On aura ensuite

2 Va v/(i — «*)

c'est-à-dire, en mettant a^n^ à la place de y. et résolvant par rapport à de ,

^ ' e * 2ae

Quanta Tarbitraire co,, nous avons dit que c'est Tangle formé par la ligne des nœuds avec le grand axe de Torbite. Or, comme <û représente l'angle que forme le même axe avec une droite fixe située dans le plan de cette orbite, il est évident que Ton aurait d(ù = d(ù^y si la ligne des nœuds n'avait aucun mouvement pendant rinstant dt. Mais, cette ligne changeant de position à chaque instant, il est clair que d(ù sera égal à d(3)^ augmenté du mouvement du nœud projeté sur le plan de l'orbite, lequel, aux quantités près du second ordre, est exprimé par cos (p dB. On aura donc

{/) dm =z d(ù^ -|- cos (p dô.

Nous allons maintenant, pour achever la transformation des valeurs de (a), (ô), (c), comparer les dérivées de R considéré comme une fonction des arbitraires provisoires,

a, l, K, Xf Ô, (p,

aux dérivées de la même fonction regardée comme dépendante des éléments elliptiques

I^ous aurons évidemment, en difPérentiant dans ces deux