II
1^0 LIVRE II. — CHAPITRE ïl
hypothèses (a),
dt ~^dadt •" dl dt'^ d^ dt
•" rfo)^ dt '^ d^ dt"^ d^ di ■" \da\dt '^ de dt "* dt dl "•"rfo) dt '^\d^\dt'^d^dt'
expression dont le second membre devienl, en y substituant
de ^""""'dt
pour^, —, —leurs valeurs données par les relations (<f).
d^\da da) dt
__ dR ansji — g* rfK e^R 1 — c* rfa
de e dt^ de "iae dl
, dKdiù. , rfH d^ , dïidl
rfR3 e — (orfg "" rfe 2 a dt
, c?Rrf(o, , dK rfO
"'"jrfôic^^+'rfç dt'
(a) Nous représentons ici par un signe particuUi))- \i^ dérivées parllellett deR prises par rapport aux éléments a et 9 du at^cund ayatème, pour les diatinguer de celles qui se rapportent aux élémeniâ du premier syatéme.
Identifiant ce second membre au premier, on obtient
i — e*dR 3e — wûfR
dR idR) da \da \
^ae de 2
dt'
dR dR
dï = ''^^
dR dK
an\li — e* dR
de'
û[R c[R , ^ diù^ dt *^ diù
dR dt
dR dR dt^ d^
KdR] , (dR , dR\
Maintenant, si dans les équations (a), (5), (c), on substitue
dR dR dK ^ . , . , ,
pour -T-» -Tf^ -fTP^ etc., leurs valeurs ci-dessus, puis que, dans
les formules {d), (e), If), on mette pour da^ dl, dK, dia^ et rf6,
leurs valeurs transformées, on trouvera, en supprimant le
sijçne { }, devenu inutile, et observant que l'on a n* = a - '
et K = Va (i — e^)j
j da = %i^h^dt.
, ansji — e^ ,-. r. -\
dt = — (1 — y 1 — e«j
de
dt
2a*n^dt, da
de=z
an
-[(-vï^)'f+S>
. an Vl — c« dR , rfo) = ^^- r- c?^
an
de
gin (p Vi — «* ^?
an
^di.
sin (p Vï"—^ ^^
Telles sont les formules qui expriment les variations différentielles des six arbitraires que Ton a coutume de considérer dans la théorie du mouvement elliptique. On leur donne la
forme indiquée par Laplace dans le supplément au troisième
volume de la Mécanique céleste, en remplaçant — et -3- par
les expressions équivalentes — et — jet prenant [* pour uni-
té de masse, comme le supposent toutes ces formules. Il faut remarquer, en outre, que Laplace prend — R au lieu de R, ce qui change le signe des équations ci-dessus.
On peut vérifier que la substitution des valeurs (A) rend bien identiquement nulle la différentielle complète de R
rfR , t dR , 1 rfR - , rfR , . c?R ,^ , (iR . 3- aa + -3- // e + 3- rte 4- -j- rfù) + 3T- aô + -3- ûto j da * dt ^ de ' rf<o ' rfô * rfçp ^^
comme nous Tavons reconnu au § VI du Chapitre I.
Remarque. — Avant de terminer ce paragraphe, nous ferons une remarque essentielle sur la manière dVxprimer l'anomalie moyenne dans le mouvement troublé.
Dans Texpression de —? entre la dérivée de R par rapport
À a. Or, lorsqu*on a à faire cette différentiatiun, on peut (R étant fonction de nt-^ t eln ne dépendant que de a seul) se dispenser d'avoir égard à la variation du mouvement moyen n, qui est facteur du temps dans l'expression de la longitude moyenne.
Supposons, en effet, que n vienne à varier, et voyons ce qui
doit en résulter dans la valeur de -j-'
al
Il est évident que la dérivée
djnt^t) dt
dn.
se composera : i" d'un terme t -j- contenant t en facteur, et 2^ de la variation
— 2a>n -3- — = — ^a^n --r ^ rr dn da as da
que subit la dérivée -^j dans la valeur d^ ;37' ^ raison de la variation de n ; de telle sorte que la variation complète de Tangle n/ -}" « ou de la longitude moyenne sera exprimée par
dn a , dR ^dn
dt dt da g
Mais
da ç, 5 rfR.
5F = 2^'^Âî
sobstitaant et réduisant, on aura donc ce résultat ^dn dn
qui exprime que la variation de Tangle nt -|- e, lorsque n vient à varier, est une quantité toujours nulle. De là résulte évidemment que, dans la dérivée
rf(n/-t-s) , dn , dt
on peut omettre le terme ' ;57' et écrire simplement
di ^^ dt
pourvu que, dans la dérivée partielle de R par rapport à a, on ne tienne aucun compte de la variation du coefficient n.
144 LIVRE n. — CHAPITRE II
On voit donc que, n^ -|- e se rapportant toujours au mouvement elliptique, on devra, dans le cas du mouvement troublé »
prendre j ndt -}- e pour Tanomalie moyenne, et, par conséquent, subsiituer / ncU knt, ce qui aura l'avantage d'empêcher
que le temps t ne sorte bon» des signes périodiques sin et cosin, et, par conséquent, qu*il ne s'introduise, dans le calcul, des inégalités croissant sans limites avec t^ c'est-à-dire sécu^ îaires.
Soit
= fndl,
d'où dp = ndt,
En substituant pour n sa valeur a ^ et différentiant, on en
conclura
dh = dndt = ^-- dadt = — -^ -r- rff*;
par suite, on aura, pour la variation finie du moyen mouvement dans Torbite troublée,
ou
en vertu de la relation n^a^ = 1.
III. —Transformation des expressions de dt, de, d^ et d<f dans
LE CAS ou l'excentricité DES ORBITES ET LEUR INCLINAISON SUR UN PLAN FIXE SONT TRÈS PETITES.
On peut varier de différentes manières la forme des équations (A), suivant le choijc des arbitraires que Ton adopte. Nous nous contenterons d'indiquer ici les transformations que Ton est convenu de faire subir aux expressions de dt, de, d^^ et d^y pour délivrer leurs dénominateurs des termes e et sin <f qui les affectent, termes ({ui, relativement aux planètes, sont toujours de très petites quantités.
Pour faire disparaître des valeurs de dt et de le très petit diviseur e^ nous poserons
a = e sm 0) y
= e cos a>,
d*où
dcLzzz e cos (i> c^ -{- sin «d dé, de =: — e siïiiù dfù -^ cos(a de;
Téquation identique
dR . , dR , rfR . , rfR .^
de
dfo
donnera alors, en y substituant pour dd et de leurs valeurs ci-dessus, et égalant dans les deux membres les coefficients de de et de do)»
dR . dR , dR
— = 8m<o^ + COSa)^,
dR dR ^ dR
duy d6 doL
jtB'tAOVOUlE THÉORIQUE.
UQ . . LIVRE ÎI. — CHAPITRE Jl
Portant ces valeurs de -r- et de -r- dans celles de dia et de cfe, ae atù
et les valeurs résultantes dans les expressions de d% et de
£^6, on trouvera, en négligeant les termes d'ordres supérieurs.
dcL = an-yrdtf
rfe = — an 77- w.
[dOL
Pour faire disparaître des valeurs de d<f et de d^ le très petit diviseur sin op, nous poserons semblablement
p = sin (p sin 6, g = sin (p cos 6, d'où
dp = sin op cosO d^ -|- cos ^ sin 0 (ftp,
c?g = — sin <p sin6 rf6 + cos çp cos6 rftp.
Nous aurons d'ailleurs, en considérant R comme une fonction de 0 et f , et ensuite comme une fonction de p et ç,
^ ^A I ûffl , dR ^ , rfH . -d^^^^d^ = -^^dp + -dg,
expression qui donnera, en y mettant pour dp et dq leurs valeurs ci-dessus,
dK dR . ^ , dR
~ = -T- cos © sm 6 4- -r- cos © cos 6, o?(p (ip ^ ' c?^ ^
dR__ dR dR dB "^^ dp ^Iq'
Substituant ces valeurs dai^9 celles de dB et de(/f,et les équa-
lions résultantes dans dp et dq, on trouvera, après quelques réductions faciles,
a onc^dK
an cos <p dK "^ sIaIT^ dp
dq
dt
Lorsqu'on suppose (p = o, auquel cas la position de la planète se trouve rapportée au plan de son orbite primitive, ces équations se réduisent aux suivantes:
, an dK ,^
dq = —
an dR .
Ce sont ces dernières équations que nous emploierons de préférence à celles qui donnent directement df^ et tfô.
•rt
Application de la méthode de Jacobi à. la détermination des variations des éléments elliptiques.
sous LA FORME CANONIQUE.
On passe des équations différentielles (R), Chap. III, livre I, qui définissent sous forme canonique le mouvement non troublé ou elliptique, aux équations du mouvement troublé, en ajoutant à la fonction des forces donnée U une seconde fonction ^ dite fonction perturbatrice, ce qui revient évidemment à remplacer, dans les équations dont nous parlons, H par H — ^. Les six arbitraires canoniques
qui, dans le mouvement elliptique, étaient regardées comme des constantes, deviendront ici variables, et, d'après un théorème bien connu de Jacobi (à), les variations de ces six quantités seront fournies par le système des six équations différentielles
dG dA dt- dg'
dg dA dt " rfG*
tfH dA dt~ dh'
dh dA dt — rfH'
rfC dA dt~ de '
de dA dt ~. d&
(a) C.-G.-J. Jacobi, Vorlesungen uber Dynamiké
système qui est de même forme que celui (E), c^est-à-dire canoniqtie.
Ces formules donnent immédiatement les variations de chaque élément canonique en fonction des dérivées de Si par rapport à ces mêmes éléments. Mais, dans le calcul des perturbations planétaires, ce sont les variations des éléments elliptiques a, e, e, o>, 6, (p en fonction de
^' "^ '" T7~ ^"'^^ importe de connaître. C'est donc à un
changement d'arbitraires que nous allons avoir recours.
Avant de Teffectuer, nous ferons une remarque essentielle pour rintégration des équations (3).
Les valeurs de r et de v, exprimées en fonction de t, sont composées d'une partie constante et d'une suite de termes périodiques renfermant les sinus et cosinus des multiples de l'anomalie moyenne, que Ton peut représenter par n (^ + ^)- Après la substitution des valeurs de Xy y, z dans Si, cette fonction dépendra donc des quantités r et v, et sera, par conséquent, une fonction périodique de n (< -|- c). Or, comme le coefficient n qui multiplie t ne dépend que de C, il est clair que quand, dans la dernière des équations (3), on viendra à prendre la dérivée de c^ par rapport à C, le temps t sortira hors des signes trigonométriques, c'est-à-dire deviendra facteur dans les coefficients du sinus et du cosinus, ce qui constitue, comme on sait, un grave inconvénient au point de vue des approximations. On peut l'éviter en substituant à l'arbitraire c la variable l qui est liée à c par la relation
mais alors les équations qui en résultent n'ont plus la forme
ioO LIVRE n. — CHAPITRE III
canonique, et une nouvelle transformation est nécessaire pour les y ramener. C'est ce calcul que nous allons effectuer avant de passer à l'intégration des équations (3). On a, d'après l'équation (1),
dl /. , dc\ , ,^ , .dndC
et comme
rf.fi.
de
dA dC dA
""dl' dt = " dr
rfC dA dA
dt-de—"^ dr
il en résulte
di
On a d'ailleurs, en désignant par (^) la dérivée partielle de ^ prise par rapport à G, mais sans faire varier C dans /,
dA __ /dA\ j^ dA . .dn
dG'^Kdc)'^ dl ^* + ^^dC'
,, ^ de dA
d où, en remarquant que ^ == — "^tt ,
de /dA\ dA . , , dn
dt=-\dc)-'di^'+'^-^;
Substituant cette valeur de— dans Texpression ci-dessus de -r > on obtient
/ox dl /dA\
VABÏATIONS DIFFÉRENTIELLES DES CONSTANTES CANONIQUES !5i'
Ainsi, aux deux dernières équations (3) on peut substituer les deux suivantes :
,^, dC dA dl fdê{\
dont les dérivées — et -^ sont maintenant périodiques, mais
qui ont perdu cet avantage précieux de n'être plus exprimées sous forme canonique. Pour les ramener à cette forme, nous poserons encore
Nous aurons alors
1' — £?£ I £[i, dt^^dt"^ dt
ou
dl
et la seconde des équations (3) se trouvera transformée dans la suivante :
/^x dt dS\.
(^) dt = -""Tc'
qui est bien de forme canonique.
Au lieu du système d'équations (3), on peut donc prendre le suivant qui est de même forme :
rfG dA dt- dg'
dg dA dt— rfG'.
rfH dA dt~ dh'
dh dA
dt— da'
dC dA
d^ dA dt ~~"rfG
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i5S LIVRE II. — CHAPITRE III
A ces équations» il faut enqore joindre celles (4), savoir
IL — Transformation du système (i) dans le cas du
