III. —Changement d'arbitraires
Nous allons maintenant» en considérant le système des
équations (H) qui se rapporte au mouvement troublé d'une
planète m', effectuer le changement de variables dont nous
• avons parlé au paragraphe I, changement qui consiste, comme
nous l'avons dit, dans la détermination des dérivées
en fonction de
da dt de dff dt' dt' dt'" dt'
d^ dA dA dA da ds, de do
Or, si Ton différenlie les équations (22) de la page (89), qui expriment les relations existant entre les arbitraires usuelles et celles canoniques, puis qu*onait égard aux relations inverses (21), on obtiendra
da 2a« rfC
di
dt
de __ rf;^ , rf^ , c^^ dt dt'^ dt'^ dt^
a(4-OdC anyfT^dG
dt [ke dt
diù dh y^ dg
li~' dt"^ di'
df^ dt'
cfqp an 008 y
dt
dG
an
^^ p. Vl— e^ sincp ^^ ja V 1 — e* sin (p ^^^ A la simple inspection de ces formules, on reconnaît que
da
da
da 2û^ da
rfG "" ^ " rfH "" ^' di\ " rx' dg''
da
da
o, 37 = o , -r"= o, dh di '
dt rfe dt dt^ . rfe j£[l j
rfG"""" Z^ d^^^' dC \xe dg" 'dh^^
fxe
de
flfo) rfot) rfoi d\ù . <i<o . diin ^
de de dô de . de
an cos y
éj*^ sin qp
an
dH
(jL V 1 — 6* sin cp
d^ d^ c?» rf©
^'^=^'^="'rfX
Googk
VARIATIOiNS DIFFÉRENTIELLES DES CONSTANTES CANONIQUES 157
On a d'ailleurs
ctS^ ' dAda , dAdt .dSV de .dAd(ù .dSi db i ^^ ^9 dzdG'^ de rfG ^" ef<o ef G "^ rfô rfG"*"(fç rfO'
dG
dadG
dAda dH ~ da dR
dSi. dA da
dtdR dA de
dedH dA de
d'/^ da dj^ dt dy "^ de d/ ^^ rfo) c?/ "^ d6 rf;^
rfe dR dKdtù , ctiflrfft c^rfj.
en sorte que
/ dA anyj\—é^ dA .
rfG"
dA dR
an cos y dA
a y^l — ^a gin jp rf<p rfC \L da'^ \i.e rféJ ' dg c^cD ' rfg ' rfA "~ rf6 "* rfo) "*" rfe '
dt
Meilant dans les équations (a), à la place ^® '^^ '^••* ■^' ^®^^^
valeurs fournies par les équations (H), puis ayant égard aux relations (ô), on trouve
da 2a^n dA dt [A dt
de ^ an >J\ —e^ — an(i — g^) oga 2a^ c^
, an (i — cos 9) dA
de an y/i—e^ dA , a (i — g^) — an\Ji — e> dA dt [Le d<û *^ (jLô dt
d^ an dA
dt j^ v^l — e^ sin (p ^?
d(ù an ^i — e^ dA . an (1 — cos cp) dA
dt "" [xe de *" ji. v^l — e' 8in<p «^?'
rfj __ gn rf^ fln (4 — cos 9) FdA , oÇ^"l
La valeur de ^ est ^ ♦«^'^ R = ^ w» (- — ^'+^^',3"^^^
m^') désignant la masse d'une des planètes perturbatrices ; et si, pour plus de simplicité, on se borne à considérer une seule de ces planètes, celle m', par exemple, on aura enfin
5[£ — 2 « — — , dt [K de.
dt ^ , m\dK) , ane^r^m'dR , ^^^^^^J^mdR
cfe an \/i — e*m dR ane Vi — e^ m' dK
dt'^ e > rfco 1 -J, y'i e* l* ^*
/ i antang -©
an ^1 — e» ^^ ^ 2^ m' cm.^
e {ji cfe ''" V^ — ^* K" ^?'
an m' rfR
\/l — e^ sin 9 H- û?? •
an tan fl^n m' rfR "^^"^ m[ fdR • f^\
Vl— e^sin^ p. c?6 V 1 — «^ P- W «î^'/
dt
df^
' dt "~
G*est SOUS cette forme que les variations (JifTérentielles des éléments elliptiques ont été présentées au tomel, page 254, des Annales de t Observatoire de Paris.
En posant
e = sin ^^
d'où
on peut encore écrire ces expressions de la manière suivante:
da dt
(X as
dt - , m'irfRj
de
m an
##• ■*/• dK m' , . i , c?R
— ; r 3 an cos 4* tang 5 4/ -;-»
\k tang <j/ cfe "*" [jL an cŒ,
rfto) m^ an
.antang^^^
COS <{/ C^(9p
\k COS ^ sin (p cf^
an
rfR ^'''"^«'^«iVrfR , ^
{jL COS ^ sin <p ei^d (à cos ^
U + rfT/
Dans les équations (A) et (B), nous avons placé la dérivée — entre crochets, pour rappeler que Ton pout^ en la formant, ne pas faire varier a dans l'expression de la longitude moyenne
nt -j- t, pourvu que la partie nt de cette longitude soit, dans le mouvement troublé, remplacée par jnt = p. Quant à celle valeur de p, elle est déterminée par la formule
an'
dt'-
