I. — De la FONCTION PERTURBATRICE ET DE SA NATURE

La fonction R des masses et des distances, qui figure aux seconds membres des équations du mouvement troublé, a la propriété, par ses dérivées partielles, de représenter les actions qu'exercent les planètes m',m''... sur celle »i/ on la nomme fonction des forces perturbatrices ou simplement fonction perturbatrice. Toute la théorie des perturbations repose sur la considération de cette fonction particulière.

Gomme nous venons de le voir, les dérivées de cette fonction, prises par rapport aux éléments de Torbite elliptique Uj s, e, (0, 6, (p, sont les facteurs qui multiplient Télément dt dans les formules qui expriment les variations différentielles de ces éléments. Pour obtenir les variations finies de a,e,e...| il faudrait donc pouvoir substituer dans R, à la place de r, r' et de t?,r', leurs valeurs respectives en fonction des mêmes éléments ou leurs valeurs corrigées de toutes les perturbations. Admettons

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i62 UVRE III — CHAPITRE I

pour un moment la possibilité de cette substitution. Il est clair que ces valeurs de ry, t?, v\ quelles qu'elles puissent être, seront nécessairement des fonctions de la masse perturbatrice Yn\ du temps ty et des éléments elliptiques, tels qu'ils ont lieu à Torigine du temps. En les supposant développées par rapport à cette masse, on aura donc

Les premiers termes 0 et ^ de ces séries sont les valeurs de r et de t? relatives à la supposition de m' = o ou au mouvement non troublé de m ; et, comme la fonction R est du premier ordre par rapport à m\ on voit que si, dans une première approximation^ on néglige les puissances des masses perturbatrices supérieures à la première, il suffira de substituer dans cette fonction à la place de r et de t? leurs valeurs relatives au mouvement elliptique, c'est-à-dire 0 (a, e, e, a>, p) pour r et 4> (c, e, w, p) pour v. Dans ce cas, la fonction R peut toujours se réduire en une suite infinie de termes de la forme

m' > cos [%'nt — int -|- 51),

termes dans lesquels w/ et n't représentent les moyens mouvements de la planète troublée et de la planète perturbatrice, et t, i des nombres entiers qui peuvent prendre toutes les valeurs * possibles, positives et négatives, y compris zéro ; 9, et il sont des coefRcients fonctions des éléments des orbites de m et de m* , mais indépendants du temps t. Si Ton voulait ensuite former une seconde approximation^ ou avoir égard à la première puissance des forces perturbatrices, il faudrait subtituer dans R, à la place de r et de v, les valeurs obtenues dans la pre-

inière approximatioo. On formerait une troisième approximation^ en ayant égard aux secondes dimensions des masses, c'est-à-dire en substituant dans R, à la place des variables r et V, leurs valeurs données par la seconde approximation , et ainsi de suite. Généralement, les deux premières approximations suffisent dans la théorie des planètes; mais il n'en est pas de même dans la théorie de la Lune, où la grandeur des inégalités et le peu de convergence des séries obligent à pousser beaucoup plus loin le développement de R par rapport aux forces perturbatrices. Laplace, dans la Mécanique céleste, s*est arrêté aux termes du quatrième ordre inclusivement, mais il a conservé ceux du cinquième qui se sont présentés d'euxmêmes. Plana, dans sa théorie de la Lune, est allé jusqu'aux termes du cinquième ordre, et même jusqu'à ceux du huitième, lorsque la chose lui a paru nécessaire. Hansen, dans ses Fundamenta nova investigationis orbitœ verx quant Luna perlustrat, n'a pas dépassé le quatrième ordre; enfin Delaunay, dans sa Théorie du mouvement de la Lune, a poussé les approximations beaucoup plus loin, et, relativement aux excentricités et aux inclinaisons, il a considéré les termes du septième ordre inclusivement et même ceux du huitième et du neu^ vième, pour certaines inégalités dépendantes de la longi^ tude.