PLANÈTES

Ne considérons, pour simplifier, que l'action réciproque de deux planètes m et m' en mouvement autour du SoleiL Eu

rv

164 UVRE m — CHAPITRE I

désignant toujours par H la fonction des forces perturbatrices, et posant

p = s/(^' - oof 4- (y- ~ y)^ 4- (z' - ^s-jS

on aura

On aura aussi en appelant ê Tangle formé au centre de gravité du soleil par les deux rayons vecteurs r et r\

p2 = r* -f- ^'* — ^^ cos s.

Soient v et v' les longitudes des planètes m et m', comptées dans les plans de leurs orbites respectives à partir d'un axe fixe ; Y Finclinaison mutuelle des orbites, et t, x'ies longitudes P du nœud commun aux orbites de m et de m\ Par la considé-

^K ration du triangle sphérique ayant deux côtés v — t, «?' — t'

et l'angle compris f» on aura pour calculer le côté s opposé à l'angle y

cos 8 =:= cos {v — t) co8(î?' — t')-}- 8in(t? — t) siu {v' — t') cos y,

ou bien, en remplaçant les produits de sinus ou de cosinus par des sommes et mettant i -— 2 sin* ^y à la place de cos y,

coss = cos (r' — t? + T — t') + [cos (»' -f- î? — T — t')

— cos(t?' — V — t-|-t)] sin'ry.

k cause de la petitesse du facteur sin ^ ^ T» ^^ P^^^ ^^^^

t'= t, ce qui donne en posant pour simplifiersin'^ Y = V ^t substiluani dans p

p^=zr^'}' r'^ — 2 rr' cos (t?' — v) — 2rr'Y|* [cos (î?'-|- v — ±x)

— cos (»' — v)].

Portant cette valeur de p dans Texpression ci-dessus de R, on a donc

^—^ Iv/H-l-r'a— 2rr cos(î?'— r) — 2rr\^ [cos (i?'+t? — 2t)— cos(t?'— t?)] ^ Jcos (t?'— t?) + T|2 [cos(t?'-|-t?— 2t)— cos (t?'— v)] •

Quand à Tangle y qui entre implicitement dans t^, il est aisé d*en déterminer la valeur en fonction des inclinaisons <p, cp' des deux orbites au plan des œy^ et des longitudes 6, 0' des nœuds ascendants de ces orbites. Si Ton considère, en effet, le triangle sphérique dans lequel le côté 6' — 6 et les deux angles adjacents à ce côté (p' et 180^ — <p sont connus, on a pour calculer Fangle y opposé à ce côté

cos Y = cos «p cos <p' -f- sin <p sin <p' cos (6' — 6).

L'inclinaison mutuelle des orbites démet de m' étant toujours très faible, on peut développer R suivant les puissances de y, en une série très convergente, et en posant pour abréger

X = 2 cos (t?'-f. t? — 2t)— cos (»' — v) h e = r» + r'2 — 2rr' cos {v' — v\

on obtient

rr

+ etc.

Sous cette forme, et en négligeant les termes en r^^ on voit que R ne dépend que de r, r^, v, v et y.

III. — DÉVELOPPEMENT DE L*EXPRESSI0N PRÉCÉDENTE EN SÉRIE ORDONNÉE SUIVANT LES PUISSANCES DES EXCENTRICITÉS

L*expression précédente de R se rapporte aux inclinaisons. Occupons-nous actuellement de la développer par rapport aux excentricités.

Posons

r = a -{• afjL,

P*) [»-'i V, v', étant de très petites quantités dépendantes des excentricités de m et de m\ et l, H désignant les longitudes moyennes nt -f- e, Wi + e' de ces deux planètes.

En substituant ces valeurs de r, r', v et v' dans l'expression de R, et négligeant d'abord (a, (a', v et v\ ce qui revient à supposer les orbites circulaires, on aura, en appelant R^ ce que devient R dans ce cas,

R, ^m'Ieo^^-^cosCr-O j

-I- m'ÔTi V^^^^'^o

+ etc

les valeurs de ^o et 9^ étant

■>Ce=|lcoB(/+/-2T)-cos(r-0],

00= a^ + a'* — 2aa cos (/' — 0-

Pour passer de ce cas à celui où les orbites sont excentriques, il faut attribuer aux quantités a, a\ /, t les accroissements ajx, «'{jl', v et v'. Or soit {a)

®«"^' -^s=|2B"'co8t(r-0.

(a) La quantité Oo*" ^, éUnt réductible à la forme

5 Af**^ A^^> cos (r«-o+ A<^' co82(r-0+. . .

168 LIVRE m — CHAPITRE I

le signe V s'étendant à toutes les valeurs entières de i, positives ou négatives, y compris zéro, et A.^^\ B^'), O'^ étant des coefficients tels que

c'est-à-dire jouissant de la propriété d'acquérir des valeurs égales pour des valeurs de t'égales et de signes contraires. Si Ton observe que le produit de

2 A<'^ cost (^— /)

par le sinus ou le cosinus d'un angle quelconque 9 est

on a, en remarquant qu» cos t (r — Q = co8[~ t [l — Q],

+ |a^*>| cos2(r-o+co8[-2(r-o]j

On a d'ailleurs généralement A^'' = a' '\ ce qui change l'expression précé» dente de Bq~~^ dans la suivante

eo'"^=|A^*'+|A^* W-O+JA^^^ C082(r-«} + . . .

+ 2-A^-*^co8[-(r-0]+|Af-*Jco8[.2(r.0]+... ;

le nombre t doit s'étendre ici à toutes les valeurs entières comprises depuis t = — 00 jusqu'à * =+ ». En y renfermant la valeur i = o, on pourra donc écrire

DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE 169 et que de plus

on aura, après avoir substitué dans R^ la valeur ci-dessus —y 2 V««'B('-*)cos ; {r—l)

Considérons le premier terme de ce développement, et posons

(a) Ces relaUons sont bien faciles à vérifier. Oo a, en effet, pour les deux séries que renferme TexpressloQ (a)

sin cos

D*aprè8 la dëAnitlon du nombre t,]on peut changer dans chacun des termes de celle somme i en — t. Or si Ton fait cette substitution dans le second larme, on reproduit le premier, car A^~'^ = A^'\ On a donc généralement

sln

2A^'^cost(i'-0=2A^'^^|,3Mr-0+<^|.

La démonstration de la formule (b) repose sur d«s considérations absoluaient semblables.

L 170 LIVRE m — CHAPITRE I

f}y A") étant évidemment une fonction de a et de a', R doit dé-

pendre des variables a, a'el [t — t). Or, si l'on désigne parV une fonction de trois variables x^ y, z, on sait que lorsque x, y y z ^ prennent respectivement les accroissements Ji, j, k, c'est-à-

5? dire se changent «nx-\-h,y-\-j,z-\-k,y devient

?•: „ , rfV , rfV . . rfv,

K +6W '^rfy"' "'"rf^»* ■ +

Pour le développement de la fonction R des trois variables a, a', t — l, ordonné suivant les puissances et les produits de leurs accroissements respectifs a[x, a'y.\ ■*' — v, on aura donc

I "^ ' V^ ,rfA"> . ,- ^ -^'(v'-v)2tA(')8int(r-/)

DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE 471 ^ (v' v)» 2 1« AW cost (t — l)

-y,A{y-v)2,»a -^ 8in ï (r- i)

m' ., , ,vi . ,rfA") . ..^ ^1 -y l*(v'-v) 2j »« "5^ sm t (r - /)J

+ ^(v— v)» 2 t'AW sin t (/'— 0 -ï;.'(v'-v)S'W|^sin.-(^-'0]

+ etc.

172 LIVRE m — CHAPITRE l

Si Ton substitue maintenant dans ce développement, à la place de

î*» K-'» f^^» f*'^--- ^'— V, (v' — v)3... K-(^'— v), fx' (v'— v)...

leurs valeurs relatives au mouvejoient elliptique, valeurs que Ton formera aisément à l'aide des relations qui expriment r',r',r et t>', et que nous avons données pages 96 et 97, on obtiendra le développement de R ordonné suivant les puissances et les produits des excentricités, et étendu jusqu'à tel ordre de terme que Ton voudra considérer.

Termes qui sont du premier ordre par rapport aux excentricités

Si Ton se borne, par exemple, à considérer les termes indépendants des excentricités et ceux qui dépendent seulement de la première puissance de ces quantités, cas pour lequel

r = a — ae cos {l — o)), z? = n^ 4- « + 2^ sin (^ — w), r' = a' — ae' cos {l' — <d'), v' =: n't +e+ 2e* sin {l' — co'), on aura

p. = — e cos {l — 0)) ,

V = 2e sin {l — a>),

[x' = — e cos(^ — <ù%

v' = 2e'sin(r— o)'),

et, par suite, il viendra pour la portion de R qui dépend des

termes dont nous parlons et que nous représenterons par R[o.|],

da'

— Y e cos {^— «') 2j « "^ ces t (i^— /)

- Y 2e' sin (?— w") ^ »i^"' «n » (/'— i)

+ Y 2« sin (r — co) 2) t'A'" sin t [t — l), c'est-à-dire

-t2 [«^'+2'A«]«CO8[t(r-0-hf-a,]

en vertu des relations [a) et (ô).

Pour les applications numériques, il est commode de n^avoir isL considérer que les dérivées partielles de A^^), B<'\.., relatives à a. Or, si Ton remarque que ces coefficients sont des fonctions homogènes de a et de a , la première du degré — 1,

(a) Ce terme se présente d'abord sous la forme On le ramène à celle écrite dans le texte, en remarquant que

174 LIVRE m — CHAPITRE I

la seconde du degré — 3, elc, on sait que -

d'où Ton lire

Eu égard à la première de ces valeurs, l'expression précédente de R [«,!] devient donc

-|'2[{2» - l)A"-<'+ a^']e'co8[t(r-0 + ^«1.

Soit, en ne considérant que les termes dépendants des excen* tricités,

R(.,3 = W^> e cos [i{r— Z) -f ^ — co] + W')e' cos [t (r— /)-f / — a,] ;

alors en posant -^— = A[;!j, on aura

M(^) = Ç [(2i-l) A('-*)+aA<'f7Î)].

DÉVELOPPEMENT DE LA PONCTION PERTDRBATRICE 175 Termes qui dépendent de la seconde puissance des excentricités Pour obtenir ces termes, il faudrait prendre

(x = •— e cos (^ — o)) + ^ [1 — C08 2 (/ -— 0))], V = 2e sin {l — w) + je^ sin2(^ — <o),

{jl' = — ô'cos(r— <o') + Y [* — cos2(r — co')], v' = 2e' sin (/' — o)') + f e"^ sin 2 (/' — co') ;

on en déduirait les valeurs de (x^, jx'^, v' — v, (v' — v)^, {Xfx', jx (v' — v), jx'(v' — v), savoir :

p,»=ieMi+C0s2(^-a>)],

jx'^=|e'«[i + cos2(r-co')],

v' — V = 2e' sin (^ — <o') — 2e sin (/ — w),

(v' — v)2 = 2(e« + e'«) — 2e> cos 2 (;— (o) — 2e'3 cos 2 (f— co')