ee sin [{l — co) — (Z' — co

et substituant ces valeurs dans les termes du développement de R qui en sont affectés, on en conclurait, pour la portion de ce développement qui est de l'ordre du carré des excentricités,

X e^ cos { i{r — /) 4- 2^ — 2ù> j

X ee' cos \i [l — î) ■\- 'il — m — u>' \ + f' S [(•■-2) (*•■- 3) A''-")- 2 (2,-3) a'î^'

X (e^ +e'^)cos;:(^ — Q

rfA<'+*>

+ 2(, + l)a-^-;-+aa'-^-^J X ee' cos | ï{^— Q — a) + <»>' I»

DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE 177 Maintenant, si l'on observe que d'après l'éqaation (c)

ctc

on aura pour les termes de R[..)] qui sont de la forme

OIL cos {i(j! - t) -\- Il -\- X\, et qui dépendent de la seconde puissance des excentricités,

R'(..,j = M'») c» cos {{{V — /) + 2; — 2a)]

+ M") ee 003 {i{l /) + 2/ — «o — o)] + M(» e'» cos [i(r — ?) 4- 2/ — 2a)'],

e xpression dans laquelle

Mf«) = — j [(2i — 2) (2|- — 1) A"-<) + 2(2« - 1) a A"^;'

+ «' A'i^')], M<») = +^' [*t* — 7t -I- 2) A"-») + 2(2» — V)a Af^;») + «'A'--f].

On aura ensuite pour les termes de R[..2< qui sont de la forme

je, cos [î(/' — /) + !«>], el qui ont, par conséquent, môme argument que les termes

A8THONOIUS THiORIQUB. 12

indépendants des excentricités,

R'^f..,] = N^o) {e^ + e'2) cos t (? — 0

-f N(*) ee' cos [î(r —/) + « — '«>1 + Nf^) ee' cos [t(r — /) — co + a)^,

expression dans laquelle W^\ N^*^ et N<^> ont les valeurs suivantes :

N<«) = — -^ [4tU<'J — 2aAi{, — a»A{§,],

W> = + ^' [{2« — 2) (2t - 1) A"-*' - 2a A<Î7,') — ««AV"], N«) = + ^ [(2t -I- 2) (2i + 1) Af'+«) - 2aA'U,"— a>A(',V'].

. Nous ne pousserons pas plus loin ces développements qui n'olTrent, comme Ton voit, d*autres difficultés que celles résultant de la longueur des calculs. Ces calculs deviennent» en effet, d'une extrême complication , à mesure que Ton 8*élève dans Tordre des approximations.

En réunissant la somme des termes (R'{..i] + R^c..»]) que nous venons de trouver à celle R[o.i ] , on aura le développe* ment de la fonction R, étendu jusqu'aux produits et aux secondes puissances des excentricités des orbites de m et de m' dont nous venons de considérer Taclion réciproque.