DES INCLINAISONS

Le développement de la fonction

(a) |'2^(0cosi(Z'-0,

en série ordonnée suivant les puissances et les produits des très petits accroissements a(A, afx', v' — v, vient de nous fournir les termes de R qui sont de Tordre des excentricités des orbites. Il nous reste maintenant à considérer les termes qui <iépendent des inclinaisons et auxquels donnent naissance la portion de R que nous n'avons pas développée, savoir :

R^ = - Y ^-n^^' B<'-^) cos i (^ - 0

Or si y en n'ayant égard qu'aux termes qui, dans le développement de R, sont de la forme

OR/ cos [»(? — /) + X], on pose

R^ = MV cos [i(r — Q + 2/ — 2t],

on aura immédiatement

M =r y aa'B<^^K

Relativement aux termes du second ordre par rapport aux

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inclinaisons, mais dont l'argument est le même que celui des termes indépendants des excentricités, on aura, en posant

R^ = NVcos»(r— /),

Considérons maintenant les termes du troisième ordre qui s'ajoutent à ceux du même ordre dépendants des excentricités. Ces termes résultent du développement de la fonction

Y 2 V^^'B^-^) cos [e(r - Z) + 2Z - 2t.];

et, comme celte fonction est déjàdu second ordre, il suffira pour obtenir les termes dont nous parlons de la développer seulement suivant les premières puissances des excentricités e et e\ Or le développement de la fonction (a) a été effectué, page 170 ; on en conclura donc celui que nous cherchons en changeant simplement

A^') en B('-*^' et t{J — l) en i (r — Q + 2/ — 2t.

On aura ainsi

aa' \ Y 2Jb«^-^) cos [ i{r - ^ -f 2^ — 2t ]

+ ff^'S^'^"^^^ W"- 0 + 2^- 2t]

-J (^' - v) 2 «^'-^) sin [^ - /) + 2/ - 2t] j- •

Maintenant, si l'on substitue dans ce développement à la place de (i, (*', {•/ — v), leurs valeurs données à la page 175, et qu'on ail égard aux relations (a), {b) et {d), ainsi qu'à celle

on trouvera, pour la somme R^ des termes dont nous parlons,

' — 1 s [(2«- 3) B"-<' + a^']«^' cos [»(? - 0