0, 2t] + T S [2«Bî'-»>+a ^^] ey cos [J(r

— 0)' — 2t] • En posant donc

R^ = N^o) ^2 cos [t(^' — Q + 3/— 0) — 2t] 4- N*eV cos [i{r — Z) + 3^ — co' — 2t], on aura

NO =^î^r(2i-.3)B^'-*)+aB^^l/n,

tiCS inclinaisons des orbites planétaires, les unes sur les autres « étant très faibles, les termes dépendants de ces quantités sont généralement forts petits, et, passé le quatrième ordre, on peut regarder leurs valeurs comme tout à fait insensibles. Il peut arriver cependant que, pour certaines circonstances particulières, ces termes d'ordre

18â LIVRE m — CHAPITRE I

supérieur acquièrent une valeur relativement sensible, et surpassent même, en grandeur, ceux qui dépendent des excentricités. Ce cas assez singulier se présente dans la théorie du mouvement de la Terre troublé par Vénus, où l'inégalité dépendante de Tangle I3nt — Snt, et qui s'élève, d*après les calculs de M. Airy , à 2"94 pour Vénus et à 2^15 pour la Terre, est uniquement due aux termes dépendants de l'inclinaison mutuelle des orbites. Les termes provenant des excentricités et qui, dans toute autre circonstance, seraient sensibles, se combinent ici de telle sorte que leur somme est une quantité extrêmement faible, presque nulle.

V« «— Remarques sur la forme du développbbient de R.

Il nous reste à présenter quelques remarques sur le développement de la fonction R, tel que nous l'avons effectué dan» les paragraphes qui précèdent. Les considérations dans lesquelles nous allons entrer seront surtout utiles, dans la recherche, faite à priori, des termes du développement de R d'après un argument donné.

Soit

{a) m' > cos (iWt — int -j- ^)

un terme quelconque de ce développement. Si les orbites de m et de m' étaient circulaires et dans un même plan, les quantités r, r', v, t?', seraient respectivement égales à a, a', ;, l; K) serait nul et Ton aurait i" = i, puisque l'angle f — l et ses multiples seraient alors les seuls dont le cosinus entrerait dans l'expression de R. D'où l'on voit déjà que ine peut surpasser t"'

OU en être surpassé, qu*au moyen des sinus ou des cosinus des termes qui dépendent des inclinaisons.

En se reportant maintenant aux valeurs de r et de v données aux pages 96 et 97, on reconnaU que l'angle lonnt-^-t est toujours accompagné de Tangle — u), et par les valeurs de r' et de v\ on voit que Fangle r = n'I 4" ®' ^st toujours accompagné de — 0)"; d'un autre côté, la valeur de x^"î entre dans R montre que la somme des angles l ti t est toujours accompagnée de l'angle — 2t ; Jl prend donc cette forme : i'e — le — ).<i) — X'o) — SX^'t et Ton peut écrire au lieu de l'expression {a)

{b) m' y cos (i'nt — int -f^ iW — U — Xco — Vw' — 2X^),

t', t, X, X', X^ étant des nombres entiers, positifs ou négatifs, et tels que

ou

Arrêtons-nous à considérer l'ordre et la composition du

(a) Cette équation de condition rôaalte de ce que la valeur de B, et, par conséquent, celle de ses différents termes, est indépendante de la position de la droite, à partir de laquelle on compte les longitudes T, /, w, w', t, t. En effet, supposons cette origine déplacée d^uDe quantité que nous représenterons par 0, et qui soit la môme pour chaque orbite. La variation subie par Tangie {i'nl — inl + 3i) sera

t^ — t9 — M — X'0-4X"fl;

et si Ton veut qu^après ce déplacement, les diverses combinaisons que Ton peut former avec les angles /, l\ «, m',t, t restent les mômes, il faudra, évidemment, que la somme des coefficients qui les multiplient dans Texpression de (i'nt — > inl + Jl) soit nulle, ou que Ton ait t'— t^X — V -2X''=:o.

184 LIVRE IIL ^ CHAPITRE I

coefficienty.il résulte des valeurs de r et de t?, que le coefficient

du sinus ou cosinus de l'angle l — co a toujours pour facteur

sin Texcentricité e ; que " 2 (^ — (o) a pour facteur e^, et que

généralement

m [l — <o) a pour fadeur e" eus ^ ' ^

Si donc, Ton regarde les excei>tricités et les inclinaisons conune des quantités du premier ordre, leurs carrés et leurs produits comme des quantités du second ordre, et ainsi de suite, on voit que, dans les termes qui dépendent seulement des excentricités, la somme des coefficients des angles w et co', pris avec leur signe, indiquera Tordre le moins élevé du terme que Ton considère dans le développement de R. Et quant aux termes qui sont multipliés par tj, comme dans l'expression de ^ le coefficient de t correspond toujours à la puissance de Tf^, on voit, pareillement, que la somme des coefficients des angles 0), (1)' et Y), pris positivement, indiquera la limite inférieure de Tordre des termes qui, dans le développement de R, ont pour facteur les puissances de tj.

Il est démontré par là que le coefficient >, lorsqu'on se borne à son premier terme, est de la forme

K étant un coefficient indépendant des excentricités et des inclinaisons, et X,X',X'' des nombres pris positivement.

L'ordre de ce terme sera donc X -j- X' -{- 2 X" ou t" — i, en vertu de la relation (c); et il re'sulte de la forme même donnée aux valeurs de r, t?, r et t?', que cet ordre ira en crois-

sani de deux unités, à mesure que Ton s'avancera dans la série. Ainsi le premier terme étant de Tordre »' — i, le second sera de Tordre t' — t -f- 2, le troisième de Tordre t' — t + 4, et ainsi de suile. Si doue t' — ï est un nombre pair, tous les termes successifs seront d'ordre pair; ils seront, au contraire, d'ordre impair, si i' — i est lui-même impair.

Nous supposons ici t" > z ; si Ton avait z' < i, le premier ternie serait de Tordre t — i\ le second de Tordre i — î'-j- 2, etc.

En résumé, on voit donc qu'en ne considérant, parmi les termes de R, que ceux qui, dépendant de l'argument i'n't — int^ sont de Tordre le moins élevé, c'est-à-dire de Tordre i' — i, R pourra être représenté par une suite de termes de la forme

KeXgX'^2X'-cos {iWt — inl — Xo) — X'co' --. 2\\ les nombres X, X', X^'' étant supposés positifs et tels que