I. — Du MOUVEMENT ELLIPTIQUE DES PLANÈTES

Les variations que subissent les éléments de Torbite elliptique par Teffet des forces perturbatrices étant toujours très faibles, on peut, dans les limites dune première approximation, considérer chaque effet isolément, et prendre pour reflet total résultant des diverses actions réunies la somme des effets que produirait chaque force considérée séparément. De cette manière, et quel que soit le nombre des corps qui composent le système, le problème des perturbations est toujours ramené à la considération de trois masses M, m, 9n' qui sont un corps central prédominant M, un corps troublé m, et un corps troublant m. Les équations qui déterminent les lois du mouvement troublé sont alors celles (G), dans lesquelles R a pour valeur

\sl[co'-xf-\-{y'-yf-\-{z-zf '•' J

Lorsqu'on néglige Faction perturbatrice de m\ la fonction

des forces R s*éyanouit et les équations (G) se trouvent réduites aux termes seuls qui définissent le mouvement ellip- Hque ou non troublé de m autour de M. Nous allons étudier en particulier les. lois qui se déduisent de ce mouvement, lois purement hypothétiques, mais que les géomètres et les astronomes ont dû considérer pour établir \e principe des approximations successives.

Multiplions la deuxième des équations (G) par x et la première par y ; la première par z et la troisième par x ; la troisième par y et la deuxième par z; puis retranchons, dans chaque combinaison, la première équation delà seconde. En désignant par x\ y\ z les dérivées des coordonnées prises par rapport au temps, on aura

xy

-yx.=J (a,^-r,-)dl = i>L,

expressions qui, étant multipliées respectivement pir z^y^x^ donnent

Odz + DC'y + ùCz = o.

Dans le mouvement elliptique où R = o, les quantités DC, DC', DC sont des constantes, et l'équation (3) représente un plan de position invariable qui passe par l'origine des coor^ données ou par le centre du Soleil. Dans le casdu mouve-

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ment troublé, ers quantités varient avec l, etI*équation (3) ne peut être regardée comme représentant un plan que pendant un intervalle de temps infîniment petit. La planète se meut alors en passant successivement d*un arc d*eilipse à un autre, à chaque inêtant dt^ et décrit ainsi une courbe à laquelle toutes les ellipses variables deviennent des courbes osculatriées.

Soit dv Tangle décrit par le rayon vecteur r dans Tinstant di; Taire décrite par ce rayon sur le plan de Torbile aura pour expression

et, en appelant (p, y^, <p2 les angles compris entre le plan des deax rayons vecteurs ou de la courbe et les plans coordonnés a?y, œZy yz^ on aura

(4) r^dx: cosç = D('cf^ rVi? cos<p^ = Xdt,

r^dv cos (p2 =: tXf'dt ;

car les premiers membres dos équations (2) ne sont autre choFe que les projections du doubfe de l'aire décrite par la planète pendant Tinstant dl sur les plans des œt/, des œz et des zy.

De là résulte

(5) r*do^=:K^dl^ ou r^dv = Kdt,

en faisant, pour abréger, K^ :^ DC» + DC'» -f DC^.

f désignant toujours Tangle que le plan de la courbe fait avec le plan fixe des xy ou de Tecliptique, appelons 6 Tangle que forme la commune intersection de ces plans avec Taxe

des X ou \q: longitude du nœud; on aura, par les principes de la Trigonométrie sphérique,

cosopi =^ sin cp cos6, coscp^ = sin 9 sin 9 ;

on aura par suite

IS>C = K co8<p, DC'z= — Ksincpcose, DC"= K sin (p sin 0.

Ces valeurs substituées dans Téquation (3) donnent z cosç — ^ sin ^ cos6-|-a7sin ^ sinO = o

d'où

(7) ^ = y tangç cosO — x tang^ sin 6.

C'est l'équation du plan de Torbite fixe ou variable.

Quant aux valeurs de 9 et de 9 qui fixent la position de ce plan, elles seront déterminées par les équations H) lor^^que les constantes arbitraires DC, DC', OC seront connues. On a, en eOet, en fonction de ces arbitraires.

(8) tang e = — — t tang f = -^ •