DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE DE LA FONCTION S

d'où

[a> — iaa! cos [f — /)4-a'»]-^= «-^(l — Sacosa+a*)-'* et soit

(i) (1 — 2aco8<f + a*)-^= |5l(»)+5l^«)co8<f +•5lt^)cos2<î + ...4-5t^'^co8 t<r+...

^^^\ 3i^*K., 3i^^ étant des coefficients fonctions de a et de u, qu*il s*agit de déterminer.

En remplaçant, dans le second membre de ce développement, cos 9 par sa valeur en exponentielles imaginaires, savoir :

on aura

(1 — 2aC0S <s + a?)-^ = (1 - aeV^-»*(l — (X^<V^)-»*.

Les facteurs qui figurent au second membre de cette expression peuvent se développer en séries à Taide de la formule de Newton et donnent

(1 — 03^'=^)'^ = 1 +f aW^' + *^^?~^aV>^«

, t^(ix+i) ((x-j-2) 3^:^ ^ i.2.3 ^^ •••

188 LIVRE lil — CHAPITRE II

Multîplianl ces deux séries Tune par Vautre^ et remplaçant g/<TV^rr j ^t-<5\I^K par 2 cos î<j, puis comparant le développement qui en résulte à celui (i), on trouve

(2) 5t<»)^2[l + (QV + (^)V

(3) 3l<'.= 2i.a [l+!^a»+!^^^^+'H^+^)a^+et généralement

(4) 5l(0 = 2i^^tdilfc^^ tt t±i-^.

série très convergente, comme celle (1), toutes les fois que a est moindre que Tunité.

Cas de ]i.=i -'

Les formules (2), (3) et (4) donnent, en y faisant [a = - et

désignant par h^^^ ce que devient 31^'^ dans ce cas,