t V ^2 4i+2 ^ M ^2 4 2i+2 2iH

Revenons à la formule (1). En prenant les logarithmes des deux membres de cette équation, puis les dérivées de ces logarithmes par rapport à a, on a

— 2fxa sin<y — il^^^sinq— 23l(^)sin2(T— ...— i^l^Osintg—.. 1 — 2x cos <T + a« |5^(0)^5^(<; cos(T+5l<>^ cos 2<x+..+3l(0cosî(i-|-..

d où Ton déduit en chassant les dénominateurs, effectuant les multiplications indiquées, et remplaçant les produits de lignes trigonométriques par des sommes (a) :

— p.x3i<®Jsin(j— {jt.x3l(^)sin2(T— [xoLÎl^^JsinSa — fiLx3l(^^sin4<j— ...

— {X(x5lf'-3)sin(i-l)(j — jxaitf'-^^sintd — {jiaitfOsin(e + l)(j +{jLaJÎl<2)sin (j+[xa5l(3)8in 2(T-}-. . .

= — (l+a^)5tf08in<T— (l + a»)2sin2(j — ...

— (14-a2)(t-l)5i(-<)sin(i — l)(j — (l+a^)t5tf0sini(j

^<xJl<08in2(j+a25l(^)sin3(j+a35tW8in4(T4-...

+a(t— 2)5l('-^)sin(ï-l)<T -J a(î — r;5lf'-<)sini(j -f-a»5lî''sin(i + i)(T + a2J3VW8in(j-fa35l«3)gin2(j4-

^(jCm) Cette transformation s'efTeclae à Taide des relations suivantes : 2 iin 9 cos t(y = sln (t + 1)<t — sin (t —- 1)<r, . 2 cos ff sin t(T = sin (t + l)<r f sin (t — l)<i.

190 LIVRE ni — CHAPITRE II

En égalant, dans les deux membres de ce développement, les coefficients de sin (t — i)<T, on doit trouver une relation entre un coefficient quelconque 51^'^ et ceux il^'-*>, 5lf'-*> qui le précèdent immédiatement dans la série (1 — 2acos(r-j-a')~*^. On a» en eflet,

relation d'où Ton déduit

(t-|*)a {I— fx)

Cette équation (5) est fondamentale dans la théorie qui nous occupe. Elle donne, comme on le voit, le moyen de calculer tous les coefficients 5l^^\ 3i^^\ etc., lorsque les deux premiers %(^) et il<*> ont été déterminés par la relation (4).

Cas c?e [A = ^'

Dans le cas de |JL = 5> l'équation (5) devient