II. — Relations qui existent entre les termes consécutifs

DES développements DE (1 — 2x COS ff -}" **)"'* ^T DB

(1 — 2aC0S(j + a»)-M.

N<)us allons chercher maintenant les relations qui existent entre les divers coefficients du développement en série des fonctions (1— 2a cos<r+a*)-t* et (i— 2acos(j+t*)-i*-*.

DÊVSfX>PPEllENT KN SÉRIE DE LA FO!ICTIO!f B'V^ 191

Soit

(1— 2aC08a+a*)-<^=|BW+JI'*îC0Sa+JI<»>C082<r+. . . +.jl<'>COS«(J-f-...

et multiplions les deux membres de cette équation par (i — 2a cos c -f- O' P"^ remplaçons le premier membre qui devient (i — 2a cos 9 + *')-«* par sa valeur en série (i). On aura

tiiW 4- sf*> cosd + 5lWcos2(i + ... + 5l^'J cos »<r-|- • • •

= (i — 2a cos <T + a*)r|jl<«)+J|f*) cos a -f- ... + V'^ cos wl-

Effectuant les multiplications indiquées, puis transformant en sommes l^s produits de cosinus (a), on trouve que les coefficients de cos to sont

dans le !•' membre. . . { Ji^'>

j+(l.f a»)JI^O dans le 2' membre . . • < — a •<'-*)

Par l'identification des termes semblables dans les deux membres, on a donc

Si, dans la formule (5), on change (ji en {a -j- i et t en t -f- ^ » on a

/^) Cet le IraDBformation repose sur la formule

2'cos 9 C08 tff = COS (t + l)ff + cos (t .^ 1)».

et, par suite,

Cette dernière équation, en y remplaçant i par î + 1, devient

i JA-j-l t — fx + i '

et, en mettant dans celle-ci à la place de B^'+^J sa valeur précédente (7), on obtient

Des valeurs de 51") et 51''+*) qui précèdent, il est aisé de conclure

(10) 1,(0 ^(iiiiXiiLf) 5v'o ?i4pii5*] 3i(/..),

formule au moyen de laquelle on pourra déterminer un coefficient quelconque du développement de (i — 2x cos<t-|-x^)"*h-\ lorsque ceux 5lf'> et 31^'+^) de (i — 2a cos a -j- 9})-^ seront connus.

Si dans la formule (10) on change i en — i, et que, dans Téqualion résultante, on remplace i par t -|- 1,. on obtiendra

(H) y.O = Milb^ 3lW- ('-^+^ ^^y ) 3l"+0.

équation qui, étant combinée avec la précédente par voie d'addition et de soustraction, donne