III. — Calcul des dérivées de 51^'^ par rapport a a

Passons maintenant au calcul des dérivées de Jl^'> par rapport à a, et, pour plus de simplicité, posons

En différentiant par rapport à a, les deux membres de Téquation (1), on en déduira

— 2|x*(a — cos (t)(1 — 2a cos a -f- a»)-l*-< = r 5t[î| 4- 5^(}î cos (!-{-...+ 5l/(', cos w + ... et, en remarquant que

, 1 — 0,2 — (1 — 2x cos d + Qt») — a + cos (j = ^ ■ -j

ASTaOffOMIB TBÉ0RIQL5 13

on aara

fx{i — a^) (1 — 2a cos (j -f- (x*)-K-< — |jL(i — 2a cos « -I- a«)-«^ = |5^1îî+^li{cos<r+...+Jl/,'îco8|-<T-f..,

Remplaçons dans cette expression les quantités irrationnelles qui figurent au premier membre, par leurs développements en séries, puis comparons dans les deux, membres les termes affectés des mêmes cosinus; nous trouverons

(13) 31,'ft = (.(!-«») >W-(.Jl('),

et, en mettant dans celle-ci pour >")sa valeur (10), nous aurons

(14) 3i.o-'+;^+2i*)«\w-^('-{*+*)'3^(rH-i).

Cette dernière équation étant différentiée n — i fois par rapport à a, fera connaître la valeur de 31 [Sj au moyen des dérivées successives des quantités 31^'^ et 31^'+^^ supposées connues. Mais, comme les formules auxquelles on parvient de cette manière deviennent de plus en plus compliquées, à mesure que l'on s'élève dans l'ordre de la différentiation (Voyez, le livre II de \d. Mécanique céle^ié)^ il est préférable, piour obtenir 3l(j^„ d'avoir recours au procédé suivant.

On déduit des deux équations (6) et (7) qui précèdent

et cette relation étant diffère ntiée par rapport à a donne 3l/f, = ïïi j (»"-•)- »('■»■ 0) + (îi[^-7* ) >l^t' ') I •