ivement

(aO (1 — 2 a cos d 4- a»)'* = | ^ ^^'^ ^^^ **^'

(PO (1 — 2a C0S(T + aV = I2 ^^'^ ^^^ ^^'^ (yO (1 — 2a cos (j 4- a«f » = |2 «^'^ cos w.

Comparant entre eux les développements qui sont affectés <le la niéme puissance de [x, c'est-à-dire (a) avec (a'), (p) avec <P'}f (y) *v®c (y), et observant que, en général,

e-l* = a'-*l* (1 — 2a cos <r + a*)-l*',

(a) Nous ne nous occupons Ici que des dérivées prises par rapport à a, parce qu'à Talde des formules que nous avons données à la page 174, il ^mi toujours facile de convertir les dérivées relatives à a' en celles rela* 4ive« à a.

on en conclut

51^=1^ ^,(0 ; r^l^*) = i (ô(<) — a) pour 1=1 1

ïfOzzzi^c^'); r*^«)=:i^(cW— 2) poure = ol

Par la différenlialion n fois répétée, on a donc

Ces formules sont d'un usage fréquent dans les applications numériques ; elles permettent, comme on le voit, de remplacer, dans le développement de R, les quantités 51 f'\ >^''\.. et leurs dérivées, parcelles b^^\ c^'K., ôjjj, c[Jj... dont le calcul est beaucoup plus simple. Ces dernières quantités restent en effet les mêmes, soit que Ton considère faction de m sur m, ou bien celle réciproque de m sur m\

Expressions des coefRcieiits des dU^ers termes qui entrent dans le développement de la fonction perturbatrice au moyen d*intég:rales définies simples ou doubles.

I. — Représentation des coefficients 3^''^ et jl^'^ a l'aide d'intégrales définies.

Les relations qui lient entre eux les divers coefficients des fonctions B-H- et B-i*-^ développées en séries, ont été déterminâmes dans le chapitre qui précède, en faisant usage de la méthode des coefficients indéterminés. Mais on peut aussi exprimer ces coefficients à l'aide d'intégrales définies simples ou doubles.

Représentons par 0' la fonction (1 — 2a cos a -[- a*) et posons, conformément à la notation adoptée,

0'-!*= i 51(0)^ JiH) C0S(I+... + Jl('> C0Sl(T-t— •

Si Ton veut exprimer le coefficient 51^^^ par une intégrale définie» il suffira de multiplier les deux membres de ce développement par cos iada et de les intégrer ensuite depuis ^ = o jusqu'à (T = TT. Alors, d'après ce qu'on a vu page 100,

tous les termes du second membre, à l'exception de celui qui a Jl^'^ pour coefficient s'évanouiront, et, ce dernier terme devenant égal à Tr5l('\ on aura pour déterminer 51^'^

Cette formule ramène, comme on le voit, aux quadratures, la détermination générale du coefficient il<'^ En la considérant conjointement avec celle

qui résulte du développement de 6'-i^* = V >f'> cos tV, on

peut parvenir très simplement à exprimer les relations qui lient les coefficients de la série 0'-i* à ceux de la suite B'-H- - < .

En effet, soit Ç = ' .^^^ et différentions cette équation en y

faisant varier « ; on aura

«. t cos ic , 2auL sin a sîn t^ , ;

O'J à cause que

2 sin <x sin ta = cos (t + i)<s — cos (t — i)(T, jj t cos t<x - , fcos (t — 1)(T COS («4-4)0 .

dÇ = -ë^jT- rf» + (*« [ 4>^./ #ir^ J''«

Maintenant, si l'on intègre les deux membres de cette équa^