EXPRESSIONS DES COEFFICIENTS DU DÉVELOPPEMENT DE R S

tion depuis <t = o jusqu'à <y = ir, et qu'on remarque qu'entre ees limites l K*évanouit, on aura

i C08 w , , I cos (i — l)<r ,

En vertu des formules (1) et (2), on aura donc (a) 5lW=:if:ï [»(/-«)— j(/ + 4)].

C'est la formule fondamentale (15) de la page 194 du chapitre précédent.

Cette formule détermine les coefficients 5l<'^ 51^^^ etc., au moyen de ceux V^\ W^K etc, mais elle ne fait pas connaître J9l<®}. Relativement à ce dernier coefficient, remarquons que « puisque

on doit avoir

2 51''^ COSW = (i — 2QtC0S <i4-a») 2 »^'^ C08*'«-

Si donc Ton effectue dans le second membre de ce développement les multiplications indiquées, et qu'on remplace les produits de cosinus par des sommes, puisque l'on compare, dans les deux membres de Téquation résultante, les termes indépendants de 9, on trouvera comme à la page 191 , formule (6),

204 LIVRE m — CHAPITRE III

Considérons actuellement lesde'rivées successives de %^^ par rapport à a. En différentiant par rapport à cette quantité la formule (i), on a

r / 2 cos g cos i<s I 2x cos id I

Mais

dd.

/2 cos (J COR i(S , / cos (î4-l)<T - , / cos(t — i)

On a donc entre les limites <t = o et g = tt,

{d) 5lffl = {J^(JI9<'+*J -f »<'-^^ — 2a »f'J).

Si l'on multiplie les deux membres de Téquation (c) par a , et que, dans l'équation résultante, on remplace 2a cosc — 2a* par sa valeur 1 — a^ — 6', et S'v-+^ par 0' 0'!*, on aura

^ \ a, fi^ fM ^\^ I COS /(T , il cos

(.) 3l,'f, = fx(l - a») - J ^^, d, --J -^

On aura, par suite,

if) 5li^;,=:|x(l-a«)*(')-{.5lf').

' Nous retombons ainsi sur la formule fondamentale (13) du chapitre précédent.