II. — Forme de l'orbîte décrite

L'équation (5) fournie par le principe de% air^« repr^^h'e une intégrale première des équations 'C, privée» de letim

58 HVKE I — CHAPITRE II

seconds membres. On en obtient une seconde par l'emploi du principe des forces vives. •

On trouve, en effet, par l'application de ce principe.

df^ ^ di^

C désignant une constante arbitraire.

En éliminant dt entre cette équation et celle (5), on

obtient

d'où

(10) dv =

ry/Cr^-f 2|jLr — K»

équation différentielle de la trajectoire. Pour en trouver Tinlégrale, considérons le trinôme

par lequel se trouvent déterminées les valeurs maxima et Yninima de r, valeurs que nous désignerons respectivement par tf (i -j- tf) et a (1 — e), La somme de ces deux racines étant

égale à jF et leur produit à — -p" ' ^'^ ^^^^

-^=2fl, -.-—=: a» (1 — e«);

d'où

(11) C = — J^» K=vW(^ — «')•

D'après cela, l'expression ci-dessus de dv deviendra

et, en divisant numérateur et dénominateur par ^a\k (1 — e% puis remarquant que -5 = — a -, on aura

c'est-â dire

V a« (i — e^) ^ ar (I — e^) r»

expression dont Fintégrale l en posant = x I

est

ty =z f -T==r=tt>-f-arccosa?=<D-f-arc cos = 1,

a» étant une constante arbitraire. On en déduit - (1 — e*) — i =: e cos(t? — ù>).

60 LIVRE 1 — CHAniRE II

Ainsi