DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES

On peut aussi exprimer par des transcendantes elliptiques

les coefficients ¥^\ b^^^ qui sont les valeurs de 51 <®^ et de 51 f^)

pour î* = 2'

On a, d'après l'équation (i),

— 2aC0S(T-f-*^) cos (sdts

cos g , __i / COI

0'» ""Vo Vïï^^

;C(>S<T-}-a^) Soit <p une nouvelle variable liée à a par la relation

(i) sin {{p 4^ <t) == a sin ç ;

on aura en faisant pour abréger A =: yl — a^ sin ^<p ,

(2) cos(cp-j-(T) = A,

et, de ces deux équations, on en déduira par la différentiation

cf<y = -^ (a cos <p — A).

On a d'ailleurs

cos (T = cos ((T + flp — cp) = A cos <p + * ^^^ *?»

206 LIVRE m — CHAPITRE Ul

en sorte que

8' = i — 2a cos (T + a* = i — 2a A cos <p — 2a* sin^ip -j- a* = 1 — 2a A cos ç + 2 a* cos *<p — a*.

Mettant cette dernière expression sous la forme.

1 — 2a Acos flp + oc* cos ^<f 4" a* cos *<p + A* — A* — a*,

on en conclut

e'=l — a*4-a*C0S*(p — A*+(aC08(p — A)*

= 1 — a*sin*(p — A* 4-(*C08 <p — A)*^

c'est-à-dire d'après la valeur de A

(3) V^e' = a cos <p — A.

Ainsi on a

—j==dfî =-^asin*<p-|- cos(pefflp =-^^ ' + cos(pcf<p.

Gomme les limites de la nouvelle variable «p sont (es mômes ^ d'après l'équation [!)» que celles de (t, on peut intégrer les valeurs précédentes depuis (p =0 jusqu'à ^=ir; et en remarquant qu'entre ces limites l'intégrale Tcoscpef^ est nulle, on obtient pour les expressions de b^^^ et de l^^^

'K J V^ — a*sin«cp