FONCTION R AU MOYEN D'INTÉGRALES DEFINIES DOUBLES

Lorsqu'on substitue dans R à la place des variables r, r', I? et v' leurs valeurs déduites du mouvement elliptique, cette quantité, comme nous Tavons vu au chapitre I, se change en une fonction périodique des longitudes moyennes l ei t ; et l'on sait qu'une telle fonction peut toujours se développer en une série de sinus et de cosinus des multiples de l et de T. En désignant par i et i deux nombres entiers qui peuvent avoir toutes les valeurs positives ou négatives, y compris zéro, et par M// et N// des coefficients indépendants de / et de l\ on aura donc

R = 2 Mu cos {il - ir) -f. 2 N// sin [il— lY).

Par une extension de l'analyse précédente, les coefficients de cette série pourront encore s'exprimer sous forme finie, mais par des intégrales définies doubles. En effet, si l'on multiplie successivement les deux membres de cette^quaiion par cos {il — i7) dl df et sin {il — iT) dldH^ puis qu'on les intègre entre les limites o et 2 tu, pour chacune des variables

EXPRESSIONS DES COEFFICIENTS DU DÉVELOPPEMENT DE R i09

il n'est pas difficile de voir qu'on aura {a)

f / ^to^{il — it)dldl\ 6 «>^o

/ R sin (i7 — Ht) dldl\

Relativement au terme du développement de R qui répond au cas où Ton a à la fois- » = o, t'zz: o, terme que nous représentons par Rq, il est évidemment égal à

(a) Car / et/ étant des nombres entiers différents de i et de i\ on a

/ C08 07-/0 coa{U^i'l')dldl' = o,

/ait pin J ces 07-//') sln(U-t'r)didr = o,

J 8ia j(/-/r) co8(t/-i'o di dr=o.

/aw r.aic / sin (;*— /n slu(»i- t'O rf/dr= G.

Dans le cas particulier dej z= % et /= i', la seconde de ces formule! sabslste, mais la première et la qaatriôme deviennent

^2iC /•Sic

/Z1C /«ITC

/2ic /«aie J sin«(t7-iT)d/rfr=2««,

pourvu que i et t* ne soient pas tous deux égaux à zéro.

JbJBTaONOMiB raéoBiOtB f4

210 LIVRE m — CHAPITRE UI

Si l'on développe Vexpression précédente de R, et qu*on pose / R cos a C08 i'/'d/df ,

/Î1C x»aiï / Rsint7siniYei/c?r,

/aie /»«w / Rsint/cost'rrf/rf/',

(D = ^ 1 I Rcos i7sîniT d/rf/ ,

les intégrations étant efiectuées par rapport à chacune de» deux variables /et t, entre les mêmes limites que ci-dessus^ on pourra lui donner la forme

U = (X + tib) cos [il — l'O + (e — CD) sin [il — i'f).

On peut encore concevoir la fonction R développée en une suite de termes de la forme

R = Hy cos [i[r ^r)^Jl^ Aj].

Alors en multipliant les deux membres de cette équatioD par cos [{J — t)Z — l]dl, puis intégrant entre les limites- / = o et / = ir, on aura

/ Rco8[c;--«-)/-nd^=-H, 2u-T)-i ^'»(*'^-^>)-

EXPRESSIONS DES G0EFFIG1E!<(TS DU DÉVELOPPEMENT DE R 2ii

Si Ton multiplie ensuite les deux membres de cette dernière équation par sin {W — A^)(fr, puis qu*on l'intègre entre les mêmes limite? que ci^dessus, on obtiendra pour Texpression analytique du coefficient H^

H^:=iz:^iî^ / 8in(fr-A^)e/r / Rcos[(y— i^-q^^.

Dans le cas particulier de y =30, on a

H„={!i±i} / sin (tT-Ao)rfr / Rco8(.-l-l)

IdL