CHAPITRE I Théorie des iiiég^alités séculaires

I. — DiSTINGTION DES TERMES PÉRIODIQUES ET SÉCULAIRES — LEUR ORIGINE

Quelque soit le degré d'approximation auquel on s*arrète dans le développement de la fonction R, on a toujours à considérer deux espèces différentes de termes ; les uns tels que

cos ^ ' '

où le temps i n'entre qu'introduit par les valeurs des longitudes moyennes Z = n^-|- s, T =n7 + ^ sous les signes sinus ou cosinus, et les autres tels que

OÙ le temps t y est contenu explicitement. Les premiers reprennent les mêmes valeurs après de courts intervalles de temps, et donnent naissances aux inégalités périodiques ; les

seconds oroisf^ent lentement avec t et produisent les inégalités séculaires. Ces deux sortes d'inégalités sont bien périodiques Tune et l'autre, mais les périodes des premières sont incomparablement plus courtes que celles des secondes. Au reste, il existe une distinction bien marquée entre ces deux genres d'inégalités : les inégalités de la première espèce dépendent de la position relative des planètes dans leurs orbites, et se rétablissent toutes les fois que ces positions redeviennent les mêmes ; celles de la seconde espèce, au contraire, sont indépendantes de ces positions et croissent avec une extrême lenteur. Ces dernières affectent particulièrement les éléments du mouvement elliptique , mais elles laissent invariables les grands axes, et par suite aussi les moyens mouvements qui s'en déduisent par la troisième loi de Kepler. Laplace, qui, le premier, a reconnu cette importante propriété de Tinvariabilité des grands axes, l'a démontrée en portant Tapproximation jusqu'aux troisièmes puissances des excentricités et des inclinaisons. Depuis, les géomètres l'ont étendue au carré et aux produits des forces perturbatrices, ainsi qu'à toutes les puissances des excentricités et des inclinaisons.

Il est aisé de démontrer que la partie m - de l'expre&sion

de R est la seule qui puisse donner naissance aux termes de la seconde espèce, lorsqu'on borne les approximations à la première puissance des forces perturbatrices. En effet si, en ne considérant que les actions mutuelles de deux planètes m et m', on pose

îii LIVRE IV — CHAPITRE I

•et qu*à la place des coordonnées x' y' z' de la planète troublée, on subsiitae les valeurs de ces variables, déduites des équations du mouvenaent elliptique [ou des équations (C), page (44), accentuées et dans lesquelles on a fait R = o], on

aura

R= m' (- + xd:^x'^yd}^^zd^z\

^t, sous cette forme, on voit immédiatement que la seconde partie de R ne J)eut contenir aucuà 'terme non périodique ou séculaire. Car les coordonnées Xy y, x, ne contenant que des termes périodiques dépejidants de nt et de ses multiples, et ^' y' z' ne renfermant que des termes semblables dépendants de nV, il est impossible que les moyens mouve ments nt et

nt disparaissent dans les produits, tels qu^^TTST'y"^*'^ wïâ'

et, par suite, que leur somme renferme des termes autres que •ceux périodiques. Lrs termes de la seconde espèce ne pourront

donc provenir que de la partie non périodique de tn - dans

Vexpression de R, partie qui est la même pour la planète attirée et pour la planète attirante.