II. — EXPHESSIOM DE LÀ PARTIE NON PÉRIODIQUE DE R

Appelons % cette partie constante qui est indépendante des anomalies moyennes n't et ni^ ou qui ne renferme pas le temps d*une manière explicite. 11 résulte de ce qu'on a vu au

chapitre I du livre III, que l'on aura, aux quantités près du quatrième ordre (a),

avec

« = 2^A{Î| +û»A[OÎ, tl'= A(<)-aA(Ji-|aUfiJ.

Pour développer cette expression de B en la forme où elle «st habituellement employée dans le calcul des inégalités séculaires, nous rapporterons le mouvement de m à un plan lixe très peu incliné sur le plan de son orbite, et nous nommerons :

(f et <p' les inclinaisons des orbites de m et de m' sur le plan fixe;

6 et b' les longitudes de leurs nœuds ascendants sur le même plan;

7 la tangente de Tinclinaison mutuelle des deux orbites ;

T la longitude du nœud de la première de ces orbites sur la seconde.

Les tangentes des latitudes de m et de m' qui répondent à

(a) Celte partie ezplicilement indépendanle du temps est fournie ptr Tensemble des termes nou périodiques qui résultent de la supposltioa »* a o, i =* o dans Texpression générale du développement de R; et comme i' — t a o, on voit que les termes dont nous parlons seront tous <1 'ordre pair à partir de Tordre zér*o. Ces termes seront donc, d'abord ceux qui proviennent de la partie indépendante des excenirieités et des inclinaisons, et ensuite ceux des ordres deux^ quaire, six, etc., qui ont mêmes •arguments que les termes de l'ordre séro.

une même longitude v seront alors

tang (f sin {v — 6), tang ç sin {v — 6'),

et Ton aura, pour l'expression de la latitude correspondante à la même longitude v comptée sur la seconde orbite,

Y sîn [v — t).

Maintenant, si Ton suppose que les inclinaisons (p et f soient très petites, ainsi que y, il est clair que Ton pourra regarder les tangentes des latitudes comme égales à très peu près aux latitudes elles-mêmes, et qu'il sera permis de confondre le cercle de latitude correspondant à la longitude v comptée sur le plan fixe, avec le cercle de latitude correspondant à la même longitude comptée sur Torbite de m ou de m'. Ainsi la latitude y sin {v — t) sera à très peu près égale à la dilTérence des deux autres latitudes, et Ton aura

Y sin (t? — t) = tang cp sin [v — 6) — tang <p' sin {v — 6').

En égalant séparément les coefficients de sin v et de cos v dans cette équation, et posant pour simplifier

tang cp sin 6 = p, tang cp' sin 6' = p\ tang 9 cos 6 = q^ tang cp cos 6' = q\

on aura donc

Y sin T = p'—Pi Y cos T = g' — q d'où

Ainsi, lorsque <p, ç', y, et par suile aussi;}, ç, p\ q' sont.

comme nous Savons supposé, de très petites quantités, la fonction (p' — p)^ + {q' — q)^ exprime le carré de Tinclinai- 8on mutuelle y des orbites de m et de m\

Il suit de laque Ton peut mettre l'expression précédente de 11 sous la forme

+ ^^e'1«'cos(a>'— o))--Ç'aa'B^<^fp'— p)«4-(^'— ç)«].

Les fonctions Hl et»^' qui entrent dans cette valeur de V, prennent une forme remarquable, lorsqu'on les exprime au moyen des quantités que nous avons désignées par b^^^ et ¥*K

On a, d*après ce qu'on a vu au paragraphe iv du chapitre II, page 200,

Alîî=^iîftiîî, AiSÎ=±ô(o{,

on a par suite

On a d'ailleurs

*lîi=i~i(«***"-*'"). *!î)=;;(ïz:^)i(3*'-*)*lîi+«*"'i-

218 LIVRE IV — CHAPITRE ï

D'autre part, on déduit delaformule(iO)du chapitre II, en y

faisant t=o et fjL=— -r? et désignant par b<'^ce que devient ô''>

dans ce cas particulier

et de là il est aisé de conclure

Substituant ces valeurs dans celles (a), on a donc

rt'W' =

Quant aux quantités b^^\ b^*^ dont les développements en séries sont plus convergents que ceux de b^^\ b^^\ on a pour les déterminer

"«=^j'+(D'-+(o)'-+(ltH)"«'+-.

Si l'on désigne maintenant par {a,a\ , (a,a'), , (a,a')j... ce que deviennent les coefficients 3t<®^ 5t<*^ 5tf*\.. du chap. If,

lorsqu'on y fait fjL = — 5» c'est-à-dire si Ton pose

(a^— 2«a cos<ï4-a'«)2= 2^ («.a%co8iŒ,

on aura

(fl,a')o = | «'«•"", {a,a\ = a't^*K

et par suite

3aa'iaa'), "~ (a'«— a»)»

C'est sous cette forme que les fonctions tl et Hl' sont ordinairement employées dans la théorie des inégalités séculaires.

On peut évidemment exprimer de la même manière que H «t H', la fonction B<^) qui multiplie, dans le développement de V, rinclinaison mutuelle des orbites^

On a, en effet, par la seconde des formules de la page 200

et comme

3kW

il en

résulte

3a»fc("

- (1-aV'

ainsi

«a'B<"estéga]àW;«

3n a donc

BW =

fiO