III. — Variations séculaires des éléments des orbites
Les variations séculaires des éléments de Torbite elliptique sont données par les formules (A.) et (G), pages 141 et 147, dans lesquelles on doit remplacer R par la partie non périodique de son développement, c'est-à-dire par
(1) «=^'a'«»)+|^11 j(c«+0-b'-P)*+(9'-9)«] j -^ — eeW cos (o) — Cl)).
Or, si Ton remarque que la diiïérentielle de cette fonction prise par rapport à nt est nulle, puisque cette fonction ne renferme pas cet angle, et que de plus
f/H ^ dlà de ndt
on voit que Ton aura pour exprimer les variations dont nous parlons
da =z 0,
de
dt -
an\/T è
cm
dtù
dixt
du de'
dp
dt ~
an
dq
la
dt
an
dn
dt
anVl —
dt
de
da
La première de ces équations montre déjà que les grands axes des orbitef^ et, par suite, aussi les moyens mouvements, sont invariables lorsqu'on fait abstraction des inégalités périodiques. Mais comme les développements qui précèdent sont bornés à la première puissance des masses et aux termes du second ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons, nous reviendrons bientôt sur ce principe pour rétendre au carré et aux produits des forces perturbatrices, ainsi qu*à toutes les puissances des excentricités et des inclinaisons.
Occupons-nous d'abord de la détermination de de, rfo), dp et dg. On a en différentiant Texpression précédente de V par rapport ènû, e^ p et q
— = — eeW sm (w — w) ,
di dtà
^ = — eH-f-Ye1l'co8(<o -<o).
On a, par suite, en négligeant le carré de l'excentricité, ce qui réduit Vl— -«* à 1,
^ de , 1 ,
^ ==r — nina - H'e' sin (cd' — w) ,
di
-yr = mna \-r^ 4- s ^ ~ cos (ta — co) > > dt 4 ' 2 e ^ M
dp
dt ""
iî.
dt
'na^ia{q — q'),
m'nar: m (p — p"),
Les deux dernières formules peuvent être exprimées en fonction de ô et cp, quantités qu'elles ne renferment qu'implicitement sous la forme précédente. En effet, on a
p = tang (p sin 6, g = tang <p cos d,
d'où
tangcp = v^p«-fg», tange
équations qui étant différentiées donnent, en s'arrétant à la
première puissance de <p.
rfflp = sin ôrfp + cos ^dq,
,. cosôrfp — sinôig
tang 9
Mettant dans ces formules à la place de dp et de dq leurs valeurs ci-dessus ; remplaçant ensuite dans les équations ré sultantes p et g par les relations [a) et p\ q' par les relations analogues, on obtient
^ = m!na j H tdng(p' sin (6 — 6'),
dt
rf6 dl
= -«wjl«-!.^co,(.-.)j.
Ainsi, nous avons pour déterminer les variations séculaires des éléments e, co, cp et 6 de Torbite de m, causées par Taction du corps tn
== — m'na x m e sin (w' — u)),
^ = m'na j î 11+ 1 r j C08(a>' ^ «) |, dl ( 4 z e ^ )
-^ = m'an -r tH tang (p' sin (6 — 6') ,
rf6
-- = — mna
dl
• L'action des aulreà planètes m'^^ m",,, ne ferait qu'introduire des termes semblables aux précédents, qui s'ajouteraient avec eux, et que Ton obtiendrait en remplaçant successivement a et m* par ci' et m"\ oC'* et rri" etc. En changeant ensuite dans les équations résultantes ce qui est relatif à m dans ce qui est relatif à m', w'', w'", et réciproquement, on aurait les
valeurs de — > "^••* "^'^ "37"" ^"^ se rapportent à m , m etc.
Il nous resteàobtenir la variation séculaire de la longitude
de l'époque ou la valeur de ^' Or, si l'on pose
V = (^TZ:^ l.^^'(^'^') + 3a«' («,«01 I , ' ^^ = ~8(a-«~a«)3 li2a>a'M«,a')-3(3a3a'-.aa'3)(a,a')W,
et qu'on néglige les puissances de e supérieures à la seconde (a), ce qui réduit la dernière des formules (2) à
dt 2 6?^ da
il n*est pas difficile de voir que Ton au ra (B) ^= m an 1 V+V^ c« +Wô6'cos (w'— w)
Celte formule convient au cas de m troublé par m'. L'action des autres planètes w!\ m"\,, ne ferait qu'ajouter à son second membre des termes semblables, que Ton déduirait des premiers en accentuant convenablement les lettres qui y
entrent. On obtiendrait ensuite --tt> -i-' etc. en changeant
successivement, dans l'équation résultante, ce qui est relatif à m dans ce qui est relatif à m\ m",.., et réciproquement.
