IV. — Invariabilité de la fonction H

La propriété importante qui caractérise la fonction V, est que cette fonction doit demeurer constante, quelques variations que viennent à subir, dans la suite des siècles, les quantités e, (0, <p et 0 dont elle dépend.

Reprenons l'expression (i) du paragraphe III, dans laquelle nous avons déjà introduit- au lieu des variables cp et 0, d'autres

(a) Si dans l'expression ci -dessus de -r- l'on n'avait eu égard qu^aus

termes du premier ordre par rapport à e et à 7, comme nous l'avons fait dans le calcul des autres éléments, on n'aurait obtenu par i'inlégratioa qu'un terme proportionnel au temps, du premier ordre par ropport à m\ et qui, s^ajoutant à nt dans l'eipression de la longitude moyenne ni -f e, ii*aurait fait que modiflur cet élément nt. Comme les termes de cette espèce sont toujours très petits, insensibles môme, on doit en conclure que la -variation séculaire de la longitude e de l'époque ne peut provenir que des termes dépendants des secondes puissances des ex'*eutricilé8 et des incii» naisons, et c'est pour cette raison que nous les avons conservés dans la

valeur de -y* ai

variables p et q liées aux premières par les relations

p z=z tang (p sin ô , ^ = tang f cos 6,

et posons en outre

?i =1 e sin o), î =z e cos w.

Si l'on remarque que

ee' cos (lo' — 0)) = AA' + //',

on aura

avec

Le signe 2\ s'étend dans ces formules à toutes les planètes

«i, w', w^., prises deux à deux, et îl, U' sont des fonctions des demi-grands axes a, a\,. dont nous avons donné les expressions au paragraphe qui précède.

Ainsi la fonction B se décompose en deux fonctions distinctes et symétriques des éléments A, l, p, q, h\ l\p\ q\ etc., et chacune de ces fonctions ne contient pas le temps d*une manière explicite. Or, si Ton substitue la valeur de la première fonction § à la place de H dans les équations (2) du paragraphe I, et qu*on néglige les termes d*un ordre supérieur au

▲STaOMOMIB THÉORIQUE. 15

^26 LIVRE IV — CHAPITRE ï

premier par rapport aux excentricités et aux inclinaisons, ah

aura, en mellant -j au lieu de n, — 3 au lieu de n' etc.

dt "~ mVâ dl ' cU^ niSjâ dh' dK 1 dfi d£ i^

On aurait des expressions semblables pour déterminer p, q, p' q etc., mais dans lesquelles la fonction § serait remplacée par celle ^ et les variables A, /,... par celles p, q etc.

De toutes ces équations prises deux à deux, on tire

^dh^^dl = o, ^dh'+^de = o etc.

dh ' dl ah ' dC

^dp+^dq = o, ^,dp'Jf-^,dq'=o etc. d'où

et comme 5 ^^ ?. sont des fonctions des éléments a, A, Z... a, p, q,., indépendantes de^et que, d'ailleurs, les grands axes a, a'..., ne sont assujettis à aucune inégalité séculaire, on en conclut Cl? (5 + ^) = 0 et par suite 54^^= constante* Ainsi la fonction B conserve une valeur constante.

Cette propriété de la fonction H subsiste encore pour des puissances de e et de 9 supérieures à la seconde ; car si Toa

forme la différentielle totale de H par rapport aux. éléments e^ «o, 9 et 0, savoir :

et que, dans cette différentielle, on substitue ^omv de ^diù^df^ etefO leurs valeurs déduites des équations (À) de la page 141, on trouvera un résultat identiquement nul. D*où il suit queTinvariabilité de la fonction H subsiste encore* lorsqu'on a égard à toutes les puissances des excentricités et des inclinaisons, et qu'ainsi la propriété dont jouit cette fonction, relativement aux variations séculaires, est générale.

Valeurs de de^ dtùy d^, dB„. ordonnées suivant les