PUISSANCES DU TEMPS. — VARIATIONS ANNUELLES

Les formules (A) et celles analogues relatives aux différents corps du système, ne donnent les variations finies de e, «o, ^, 0..« que pour un temps infiniment court; car ce n'est que pour cet intervalle de temps qu'on peut regarder comme rigoureusement constants, les éléments e, e\.. a>, a>'... 9,9'... ^,6'.-. qui y entrent. On peut cependant, avec une approximation suffisante pour un très long espace de temps, intégrer les équations (A), en donnant à e, e\.. o), a)'... les valeurs qui se rapportent à Tépoque choisie pour origine, ce qui revient à multiplier par t les équations dont il s'agit. Cette approximation peut d'ailleurs être poussée aussi loin qu'on le désire, en réduisant en séries ordonnées par rapport à f, les

228 LIVRE IV — CHAPITRE ï

valeurs de -r? -r:"* Ainsi, /désignant le nombre d'années at au

écoulées depuis i*époque donnée, on aura pour exprimer les

variations de &, (i>«..

rf^"*" 1.2 rf^-*"*" 1.2.3 rf^ +■ *•• cf/^"i.2 dC^ "+"1.2.3 rf/3"^*-

etc.

séries qui conviendront également aux années qui précèdent l'époque choisie pour origine, si Ton a soin d'y faire t négatif.

Pour t = 100, les seconds membres ne donnent que des centièmes de seconde et les suivants sont nuls. On peut donc, relativement aux planètes, s*en tenir aux deux premiers termes de la série précédente pour déterminer, pendant la durée d*un grand nombre de siècles, les variations séculaires des

éléments planétaires. Quant aux premiers termes ^ ;7t, t -r-"-

' qui ne donnent que quelques secondes, on peut s'en servir pour calculer, avec une exactitude suffisante, pendant la durée d'un ou de deux siècles, les inégalités séculaires des

•mêmes éléments.

Les variations annuelles, répondent au cas de ^= 1, et sont représentées, dans l'expression générale du développement de R, par le terme

«. cos ^ sm

Gomme ces variations sont toujours très petites, on peut

les supposer égales au rapport des différentielles de, dt\ rfw,. dt^ e(^-, c'est-à-dire que ces variations sont représentées par les termes

de dtù da

de dtù a® aô

Ht' Tt' dt' rfi'***^'

Y. — Relations qui existent entre les fonctions 111,111' et

LEURS analogues

Les quantités n.H' et leurs analogues sont liées entre elles par des équations de condition quUl est très important de connaître. Ces équations peuvent servir, en effet, à les déterminer Tune par l'autre ou à en vérifier les valeurs, quand on les a calculées séparément, ce qui est un avantage bien précieux dans les applications numériques.

Posons pour simplifier

vy\v*A) ;2i: mncL - H z= — ^ — - — ^^ j

et représentons par tD^*-®^ ce que devient XD^^'^^ lorsqu'on y change m', n, a en m, n', a^ , et réciproquement. On aura

et par la comparaison de ces deux valeurs, on en déduira en remarquant que (a, a')| = {a\ a\,

SaO LIVRE IV — CHAPITRE I

Mais

on a donc

On aurait semblablement

en convenant de représenter par t)^®*^, XD^^'^K.. ce que devient p^^'*\ lorsqu'on y change successivement a' et m en c^ et m'; ûT et m'''; et par t)t< •<>\tD(^ -^^tD^^ •»)... ,t)<»'^>,tDt>-«î,t!)(«-»>.. . ce que deviennent XD^^'*)^XD^<^'^)^X)^^*^)... , lorsqu'on y change successivement ce quiestrelatifàmdansce qui e8trelatifàm',«i*',»n'''.,., et réciproquement.

Relativement aux fonctions W, on aurait pareillement, en posant

et employant les mêmes notations que ci-dessus,

De là et de ce qui précède, on conclut

YI. — Variations des inclinaisons et des nceuds des orbites

PLANÉTAIRES PAR RAPPORT A L'oRBITE MOBILE DE LA TERRE

Au lieu de rapporter la position des orbites planétaires à un plan fixe, comme nous l'avons fait jusqu'ici, les astronomes ont cfoutume de rapporter cette position au plan même de l'orbite de la Terre; c'est en effet du plan de celte orbite que nous observons les mouvements célestes. Afin de pouvoir comparer la théorie aux observations, il est donc nécessaire de connaître les variations séculaires des nœuds et des inclinaisons relati* vement à l'écliptique.

Or, si Ton suppose que m représente la Terre, et qu'on désigne par ^ et 0 Tinclinaison et la longitude |du nœud de l'orbite de m' sur l'orbite de m ou de l'écliptique, il résulte de ce qui a été dit au $ H, que l'on aura

tang «ï» = V (P' — P)' + W — qY .

tang 0 = ^7 — ^• q —q

Si Ton prend pour plan fixe celui de l'écliptique à une époque donnée, il est clair que pour cette époque p = o, ç = o ; a

valeur de tang 6 se réduira à^,ou à tangô',et par la différent

tiation des valeurs précédentes, on en déduira, en remarquant que les différentielles dp et dq ne sont pas nulles,

rf* = {dp' — dp) sin 6' + [dq' — dq) cos 0' ,

Mais en employant la notation des fonctions t), on conclut des deux dernières formules {a) de la page 221.

■CtC

on a donc

^ = [ t)«<-«) — t)^»-2>] tang / sin (6' — 6^

^ [ t)(^*3) tD(<^-»' ] tang f' 8in (e' — ô"^+ ... ^ = — [XD(*-^^ + t)t*-*J + t)(<;»J + ...] — t)^o-<>. ',

j rt:)(i.a) — tD<<>-*n *-^î^^ cos (0'— 61 ' •■ -■ tang <p ^ '

^ [t)(<-3) — t!)(o-3)] ^^' cos (ô' ~ Ô'^) 4- ...

On trouverait des formules semblables pour déterminer les variations du nœud et des inclinaisons de m", m'''... par rapport à Torbite de m, et ces formules seraient toutes exactes aux* quantités près du troisième ordre.