CHAPITRE II
Inf ésrtttion des équations difTérentielles qui déterminent les variations séculaires des éléments des orbites planétaires
I. — RÉDUCTION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES A LA FORME L-INÉAIRB- - • • • -
Les formules générales qae nous avons donnéesdans le chapitre précédent pour déterminer les variations séculaires des éléments de Torbite elliptique, peuvent 8*étendre, comme nous Tavons dit, à plusieurs siècles après pu • avant Tépoque choisie pour origine, et suffisent ainsi à tous les besoins de l'astronomie. Toutefois, comme ces variations sont susceptibles de croître indéfîniment avec le temps, on peut se demander si, à la longue, elles ne finiront pas par devenir con* sidérables et par changer entièrement la nature et la position ^es'orbites des différent-s corps qui composent notre système. Cette question qui intéresse au plus haut degré nos connaissances sur la stabilité du système planétaire, ne peut être résolue que par l'intégration des équations différentielles qui déterminent les inégalités séculaires des éléments elliptiques; car c'est en examinant avec soin la forme de leurs inté-
grales rigoureuses, que Ton peut parvenir à découvrir la loi des variations qu'elles renferment, c'est-à-dire leurs limites extrêmes et la période de leurs accroissements.
Avant d'entrer dans le détail de cette intégration, nous corn* mencerons par ramener le système des équations(A) à la forme d'équations différentielles linéaires du premier ordre que l'on ôait intégrer.
On y parvient à l'égard des expressions qui donnent les variations séculaires des inclinaisons et des nœuds, en posant» comme on l'a vu page 216,
p = tangcp sin 6, q ssi tang <p cos 6,
|)'=r tang (p' sin d', q'zs tang <p' cos ô' ;
car on obtient alors
\ dt
S^ == [t)(< .o)^x:)« . j)^. . .]p'-. t)(< •o)p'— tD<< -'Jp'-
(quations de forme linéaire et dont tous les coefGcients sont
constants.
. Pour ramener à la même forme les équations qui détermi-
nen t les variations séculaires des excentricités et des longi-
mTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES, ETC. 235 tades des périhélies, on peut poser
A'=e'sino)',
e cos o> , : e'coso)',
OD a alors
dJi d<o,h de dt~ dt'^ëdt'
dl dt~'
hdia j. Ide dt "^edt'
dh' du>' h'de' dt- dt'^ e' dt'
de
h'dm' , rdé'
dt ~
dt ' e'dt'
et comme en employant la notation des fonctions t) de
g = tD'(»-<' e' sin («' — u)) + O'"-» e" sin (co' — w) + ... tfa>
__ tD'(o.î) 1. cos («" — w) — ....
^ o'(4.o)g 8in{<o — o)') -f tD'C-»' c" sin (*>' — o)') + ....
rftt)'
0'<'-»'-, cosU" — m'I— ....
on en conclut
dh
\ of^
système qui, étant linéaire du premier ordre et à coefficients constants, peut toujours s'intégrer par les méthodes connues. Les valeur p, g, p', q' et A, /, A', T une fois déterminées par rintégration dea systèmes (I) et (U)^ on. obtiendra celles de (p, 0, (p', 0'... et de e,<«>, ^',0)'..., à Taidc des relations sui* vantes, qui lient les anciennes variables aux nouvelles
tang (p = \/p«-f-g^, tang cp'= Vp^-f-^'^..
tang ô = -î tang û' = — ,-•
tang 0) =z - > tang o) = y»
IL •— Intégration du système relatif aux excentricités et AUX longitudes des périhélies
L es équations (I) et (II) d'où dépend, en dernière analyse, la détermination rigoureuse des variations séculaires des éléments elliptiques, forment deux systèmes linéaires du premier ordre tout à fait analogues, quoique distincts Tun de l'autre: et dans chacun d*eux le nombre des équations y est çlpuble de celui des orbites que Ton considère. Qu'il s'agisse de l'un ou de l'autre de ces systèmes, il est clair qu'on y satisfaira en prenant pour les valeurs de /, A,p', g'.., des expressions de cette forme . .
, sin , , , »
cos ^^ ' /»
où ^, « et X sont des constantes indéterminées.- *
Considérons en particulier le système (II) qui se rapporte aux variables A, ^, h\ T,... et posons
A = N sin (^/ 4" *) » / = N cos (çl -{-(».) ^
■ h = N'sin (^/ + a) , ^ = N' cos {gt -f- a) ,
r= N'' sin (^^+ a) , f = N'^ cos [gt+ti).
Si Ton substitue ces valeurs dans les équations proposées {IVji il en résultera les équations de condition suivantes :
dont le nombre sera précisément égal à celui des constantes N,N',N^.. ou à celui des corps w, m\ m'\.. du système.
Soit V ce nombre. On aura ainsi v constantes indéterminées et un pareil nombre d^équations entre ces constantes ; et si Ton élimine successivement ces v constantes, il est aisé de voir que la dernière disparaîtra d'elle-même, en sorte qu'il restera une équation finale en g du degré v, laquelle ne contenant plus d'inconnue que la constante g, pourra servir à la déterminer.
Cette équation en g donnera ainsi v racines g^ g^^ g^, g^... à chacune desquelles correspondront respectivement les syslèmesde coefficients indéterminés (N,N',N"...), (N^,N;,NJ...), (N3,Ni,N;. ..)... Le système des 2v équations (II) sera donc
satisfait, en prenant
A=: Nsin(^/-{-a)-f-N| sin(^i/ + aj -f-N,8in(^3^+ot3)-|^. A = N'sin(^^-fa)-|-N; sin(^^^+xJ-f-Ni sin (^2'+*^)+- K= N'^ sin(^^+*)+NÎ 8in (^^/+«|)+ NJ sin (^,i-|^,)+.
^== N cos (^^-j- x) + N^ cos (^^ i + a, ) + N, cos(i?/-f-aL2)+. „
et ces équations renfermant 2v constantes arbitraires N,N|,N2...a,a,,a2... seront les intégrales complètes des équations différenlielles proposées.
ir reste à déterminer les valeurs de ces 2v constanlea arbitraires, ce qui ne peut se faire que par les observations, A la vérité celles-ci ne les donneront pas directement, mais on pourra toujours les déduire des valeurs de h, A'.„ /, l\., et par suite de e, cd, e\ o)'.. que l'observation fait connaître pour une époque donnée. Si Ton suppose, par exemple, que les valeurs des 2v variables ^, A'... ;, T... soient connues pour l'époque ^= o, on aura, en désignant par Aq»^©»-.. ces valeurs initiales,
A^ = N sin tt + N, sin a, + Nj sin Xj -f*"* h\^ = N' sin X + N4 sin x^ -j-Ng sin Xj +.,,
Z^ = N cos X 4" N^ cos x^ + N2 cos x^ +. ;^ = N' cosx-|-N( cos X, + N2 cos xj-f"*
relations qui, étant au nombre de 2v, serviront à déterminer les constantes N, N|... x, x^..., dont il s'agit.
III. — Intégration du système relatif aux inclinaisons et aux
LONGITUDES DBS NOBUDS
Le système d'équations qu'il s'agit d'intégrer est le suivant :
. cU
et*
Ces équationsjie diffèrent, eoipmç op 1q yoit, de celles (II), qu'en ce que A, Z, A', /'... y sont remplacées par p, q, p\ q\ et t>'(o-*)r, 'O'^^'^^f.., par t)fo-<y, tDf»-3)p''.... Le système précédent est donc entièrement semblable à celui (II) et peut s'intégrer de la même manière. Si donc l'on pose comme au g II
p = N sin (^^ -{" a) , <|r z= N cos (^^ -|^ a) ,
jp' = N'sin (^^-f a) , q*= N' cos (^^+ a) ,
il en résultera les v équations de condition
^N + [^^^**^ + ^^®'^^+---] N — N't){»-<) — N'^TD^o-») — = 0, ^N' + [ tD^^'^^ + t5t*-«) -f. ... ] N' N t)f*-0) — N'' t)î< •»> — = 0, ^N'^^-. [t)(«-o)-|-t)(a-0-j-:..] N'=^Nt)(»'Oî — N't)î2-«> — = 0,
et rélimination successive des constantes indéterminées N, N', N"... conduira à une équation finale en g, dont les diverses racines seront g^ g^yÇ^^-^ Une de ces racines sera nécessairement nulle, car d'après la forme des équations précédentes, il est clair que Ton peut y satisTaire en faisant ^ = o et N =N' = N" =... Ainsi g =o sera une des racines de Téquation en^, ce qui abaissera cette équation au degré v — \. Par suite, on aura pour les expressions générales des variables p, p\ q, q\, ou pour les intégrales complètes des équations dilférentielles proposées :
p = Nsina + N, sin {g^t + (^^) + N^sm(g,J-^ciL^) •{-,.. p'=N'sin(x 4-N| sin {g^t -}- (x,)-f-Nisin(^2^-}"*2) + ---
^= N cos (x4- N^ cos(^^^-:^aJ-f"N2COs(^j^ + a2)-+-— 5r' = N'cosa + N| cos(^^^-f-aJ -f-^a cos(^2^-f"*2)+--'
N, N', N"... a, 7.^i a^ étant des constantes arbitraires dépendant de la position des orbites, et que Ton déterminera au moyen des observations, comme on Ta dit pour le système relatif aux excentricités et aux longitudes des périhélies.
