PRÉCÉDENTES

Le calcul de Téquatioa en g, sur lequel repose l'évaluation numérique des intégrales (a) et (b), devient très difficile à mesure que le nombre des orbites augmente; car alors le degré de^r^quetion s'élève -et les éliminations se compliquetut de

plus en plus. Lorsqu^on ne considère que les actions réciproques de deux planètes m et m', ce calcul est des plus simples ; alors Téquation en g est du second degré et se résout facilement au moyen des règles connues de Téliminaiion. Dans ce cas particulier, on a, en effet, en ne considérant que le système formé par les excentricités et les longitudes des périhélies,

ac at dt '

dù

et en posant

A = N sin igé + *) > h' = N'sin(^^ + a), / = N cos (gt -f- a) , r = N' cos [gt + a) ,

on obtient

j^ t)(o.<) . N + N'i:/(«'*^ = 0, j^ x:)ii.o) j N'+NO'^*-<» = o.

Ces équations de condition donnent

NT XD(^'*)^g ___ t)^(<-0)

d'où Ton déduit

^ — XD^o^i^) {g — t9t<-0)) — t)'(o.'i) XD'i^'O) -^ q^

ASTBOMOMIB THiORIQUE 16

m LIVRE IV — » CHAPITRE 1!

équation du deuxième degré en g, qui se transforme aisément dans la suivante :

en faisant

g eig* désignant les deux racines de cette équation, on a donc

^=-2+\/(iy+0'

Si Ton représente maintenant par [Aq], [ho], [y, [Iq] les valeurs numériques des quantités h, h\ l, V, calculées pour le midi moyen du 1"' janvier 1850, époque pour laquelle nous prendrons ^ = o,et par [^]^ [OR/] les nombres qui expriment

les rapports j^> j^ respectivement égaux à-jj^7jô^' ^/(oT^^ ' on aura pour l'époque adoptée

[h^ = N sin a -|^ N^ cos a, [/^)] =Ncosa + N^ cos a^, m] = [X] N sin a -f- \p\C\ N^ sin a^, [Vq] = [,%] N cos a + [OIL] N| cos a^/

équations d'où il sera facile de tirer les valeurs numériques des quantités N sin k, N^ sin a^, N cos a, N^ cos (i| et par suite celles des quatre constantes arbitraires N, N|, a, a|.

Nous donnerons à la fin de l'Ouvrage les valeurs en nombres de hf K l, ï pour les huit planètes principales, ainsi que

miÉaRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES, ETC. 243

celles des quantités t)^®-*>, 'O'î®-^)... qui dépendent des masses et des grands axes. Ces dernières sont exprimées en secondes sexagésimales.

y. — Intégration de l'expression dibtérentielle de la

VARUTION séculaire DE l'ÉPOQUE

Il nous reste à considérer la variation différentielle de la longitude de Tépoque dont nous avons donné l'expression au § III du chapitre précédent.

En exprimant dans l'équation (B), les éléments e, a>, e*y (i>\ en fonction des variables A, /, h\ T, et remarquant que

eé c8s (o)' — 0)) = hK + It , on transforme cette équation dans la suivante :

Poar avoir la valeur de e relative à un temps quelconque, il faut, comme on le sait, remplacer dans le second membre de cette dernière expression A, A', /, et t par leurs valeurs (a) page 238. Or si, en ne considérant que Faction mutuelle de deux planètes, cas pour lequel l'équation (B') peut s'intégrer exactement, on pose

A» + ? = N» + NÎ +2NN^ C08 {{g^ -g) «+ a, - a] . M'+;^=NN'-f-N<Ni +(N n; +N'N<) cos [{gt-g) t-\-o.,-^] ,

et qu'on substitue ces valeurs dans Téquation (B'), il n'est pa3 difficile de voir qu'il en résultera pour -7- deux espèces différentes de termes: les uns seulement fonctions de V, V^, W, W, N, N|,N', N'4 seront constants [et dans ceux-ci entrera nécessairement le carré de la tangente de l'inclinaison mutuelle des deux orbites (a),] et les autres dépendants des mômes quantités, seront affectés des cosinus de l'angle [{g^ — ^^)/+*4 — *]• Les termes constants produiront dans l'expression de e des termes proportionnels au temps, et qu'on pourra négliger, puisqu'ils s'ajouteraient au moyen mouvement nt dans la valeur n^ -|- e de la longitude moyenne ; et quant aux termes en cosinus, ils acquerront par l'intégration de très petits diviseurs de l'ordre des masses m et m\ et pourront par là devenir sensibles dans la suite des siècles. Ce sont ces termes qui donnent naissance aux inégalités séculaires de la longitude de l'époque. Dans la théorie des Planètes et même pour Jupiter et Saturne dont les masses sont très considérables, les termes dont nous parlons ont des valeurs tout à fait inappréciables, mais ils sont au contraii*e fort sensibles dans la théorie de la Lune et des satellites de Jupiter, et c*est princi-

(a) Il est aisé de prouver, en effet, que dans lo cas de deux planètes soumises à leur action réciproque, cette quantité doit rester constante.

Dans ce cas qui est à très peu près celui de Jupiter et de Saturne, on a en faisant mTH = n et ayant égard seulement aux variations des inclinaisons et aux termes qui sont du premier ordre par rapport à ces quantités,

n = mm- j |V0) 1 [(p- p)« + (,' ,)i] j.

Mais la fonction TI doit conserver une valeur constante qu'elles que soient les variations que viennent à subir dans la suite des siècles les quantités ^, </, p' q' (Chap. I, § IV). On a donc

(P' -^ P)* + (9' — 9)* =* ^^e!^ T = Qonslante^

paiement aux termes de cette espèce que sont dues les inégalités que Ton obselrve dans le mouvement de ces corps.

D'après ce qui précède, on voit donc que, abstraction faite des termes proportionnels à nt et qui sont trop peu sensibles

de pour qu'on y ait égard, on peut mettre l'expression de -jr sous

la forme suivante :

^ = K cos [ (^^ — ^) ^ + d^ — a] ; d'oiï résulte par l'intégration

K étant un coefficient fonction de V^, V, W, W|, N, N,,..., c'est-à-dire une constante dont la valeur est connue.

Considérations g^énérales sur la forme des inté- £:rales précédentes. Conséquences qui en résultent relativement à. la stabilité du système du monde.

I. — Nature des racines de l'équationt en //. Première condition RELATIVE A LA STABILITÉ DU SYSTÈME DU MONDE.

L'intégration des systèmes dMquations (1) et (II) que nous avons effectuée dans le chapitre précédent, nous a conduit à des valeurs de A, h\ /, V.,. p, p\ g, g'.., qui sont la somme d*un nombre fini de sinus et de cosinus d*angles proportionnels au temps, et dans lesquelles les coefficients de t sont les racines d'une équation algébrique d'un degré égal au nombre des planètes que l'on considère. Pour que ces valeurs demeurent toujours fort petites, il faut donc que les racines de l'équation dont nous parlons soient toutes réelles, et il faut de plus qu'elles soient différentes les unes des autres (a) ; car si ellesétaient imaginaires etégales, les ex pressions de^, /,/t', T...

(a) Cette condition est toujours remplie dans le cas de deux planètes m et m' agissant simultanément : car on tombe alors sur une équation du second degré

p« — Pg + P^Q = o

dont les racines sont toujours réelles.

contiendraient des termes ayant i en facteur ou en exposant» lesquels seraient ainsi susceptibles de croître indéfiniment avec le temps. Dans ce cas, on ne pourrait donc plus compter sur l'exactitude des résultats obtenus, du moins pour un temps indéGni, et la stabilité du système planétaire cesserait d'être assurée relativement aux excentricités et aux inclinaisons.

Nous allons démontrer que, fort heureusement, ces cas ne se rencontrent pas dans le système du mondo, du moins lorsqu'i^n n'a égard qu'à Faction mutuelle des planètes, et qu'ainsi les valeurs générales de ^, h\ l, t^.,, p, p.., ne sauraient contenir que des termes périodiques.

Considérons en particulier les valeurs de A, /, h\f.,, qui proviennent de l'intégration du système (II). Quelle que soit la nature des racines de l'équation en g qui s'y rapporte, les valeurs générales de ces variables pourront être représentées par des expressions de cette forme

h = ap«* + CDp*'^ + 4- S'^ 4- 1?'»-* -f ... 4- h^^

i =z uî,^»' + 6p«'* + + er 4- xDt^-^ 4- ... 4- /^,

A' = e'p«'4.(t)'p«''4- 4- eS'r4-t?'^'-* + ... 4- h^,

t = iji,'p«^4- c'p<^'' 4- 4- s'r4- vt"-* 4. ... 4- /;,

p étant la base du système des logarithmes népériens, C cb... C, (£)'..., a, a, d^.., des constantes réelles, et h^, /^, hif li." des quantités périodiques.

Si donc l'on suppose a > a\ a' > a", etc., on aura

c'« =h'^-^n= (3'i'+Db'»)p»«'-K(0'«+c'») p»«''-|-.

248 LIVRE IV — CHAPITRE lïl

et il s'agira de prouver que ni les exponentielles, ni les ares de cercle ne peuvent entrer dans les valeurs de «, e'... et qu'ainsi ces valeurs se réduisent aux seuls termes périodiques h^-\-l,, h\-\-l\, etc.

Pour cela, reprenons les expressions que nous avons données

pour déterminer — î-T ... ou les équations (II) du chapitre précédent. Si Ton multiplie ces équations respectivement par m \/aK fn \/aly m' sja!h\ m' sfa't,., puis qu'on joute ensemble les produits ainsi formés, le second membre de l'équation résultante sera nul en vertu des relations ([) du chapitre II, et cette équation se réduira à la suivante:

Mais

. dh . ,dl j -, dh' , ,, dl' , , , ,

dt ^ dt de ^ dû

Faisant ces substitutions et intégrant ensuite, en observant que les grands axes a, a ... sont constants, on aura

(m) e^m sja + em \R -f- ... G,

G désignant une constante.

Maintenant, si l'on substitue dans cette équation à la place de é^j e'^... leurs valeurs précédentes (a), on trouvera

équation qui; devant avoir lietf quelque sOit le temps t, se décompose d'elle-même en les trois suivantes :

(e2+ub2)wv^+(e'2+iiî/2)mV«M-...=o

(S»-f-G2)wV/'a + {S'»4-S'2) mV^ + ... = o.

Mais 8, ill>..., (D, C.,., §, Ç... sont des quantités réelles; et si Ton suppose que les corps m, m'... tournent tousdans le même sens, m \fâ, m v^/, etc., seront nécessairement des quantités positives. Pour que les équations précédentes puissent subsister, il faut donc que Ton ait à la fois

e = o , 1)1, = 0 , a' = Cl , \\W = o, etc. (0 = 0, C =z 0, (D' = o , C =zo, etc. S =0, 6 =0, .S' =0, Ç^/ = 0, etc.

Ainsi les valeurs de h, /, h\l\,. et par suite celles de ^^ e' ,,. ne peuvent renfermer ni exponentielles ni arcs de cercle, et Téquation en ^ a toutes ses racines réelles et inégales. Ces valeurs se réduisent, en effet , aux quantités périodiques ^4>4"^4» ^4>-h^'i"' et Ton a en vertu de l'équation (p)

{h^ + P) my/Z + {h'^+P)myJà+ ... == C.

Nous supprimons ici l'indice 1 devenu inutile.

Par une analyse entièrement semblable appliquée aux valeurs de p, q, p\ q\.. on trouverait que

(p« + q^) msfZ -t- {p'2 + 9'2 w')v/«'+ ... = C, c'est-à-dire (n) tang*(p w^â-f tang^cp' »nVfl' + ... = G;

et de là on conclurait, comme dans le cas qui précède, que ces valeurs ne peuvent contenir ni exponentielles niarcs de cercle, et que, par conséquent. Téquation en ^ à toutes ses racines réelles et inégales.

Les équations {m) et (n) qui précèdent résultent très simplement des équations différentielles que nous avons données au paragraphe IV du chapitre I pour déterminer l, A, T, h\ p, ^, p'i q'.,. En effet, si dans le groupe des équations (a) qui se rapporte aux variables l^ h, T, h\.. on multiplie la première par m ^h, la seconde par m^fal, la troisième par m yja'h^ la quatrième par m' \la' /', et ainsi de suite ; puis qu'on ajoute entre eux les produits ainsi formés, on aura

,- hdh-^ldl rp ^dh'+Vdr

my/a ^J -f-mya -^^ heic.

^^ dl ^ dh^^ dt ^ c^A'+®^^-'

équation dont le second membre est nul par la nature même de la fonction 5 qui est symétrique en h et /, fi et t, etc. Si donc Ton observe que

on aura

mslaede -\-m!sfcî e ûfe'+ ... = o,

et par suite

m\[a é^ + nisfâ' e^ -j" ••• = const.

Des équations en dp^ dq, dp' dq\,. on déduirait seinbla))!^-

ment

rf^, .rf^ „,d^

équation dont le second membre est nul, puisque ^ est une fonction symétrique de p et g, p et q\ etc. On a donc

m)Ja (p^ -)- g^^) + m'^' (p'^H-^'*) + ••• == const. ou en remplaçant (p* -}* g*), (p'^ -{- y'*)... par leurs valeurs m Va tang *(p + m'V«' tang ^cp' -f- ... = oon^^

n existe entre les vitesses des nœuds et celles des périhélies des relations analogues aux précédentes et qui se déduisent également des équations en dh^ dl... dp.dq., , que nous avons formées au paragraphe I. En effet, si dans le groupe des équations (a), on "multiplie la première par my/a Z, la seconde par — m>/ah, la troisième par myfc^ Vy la quatrième par — m'yfàh etc.; puis qu'on ajoute entre eux les produits résultants, on aura

^v^V dt ) + ^^^ [ — di — ; + '^^•

-^ dl ^^ dh^^ dl'^^ d/i'+^^^-

ou bien, en observant que 5 est une fonction homogène et du second ordre par rapport à A, /, A', T...,

r (ldh — Mt\ . ^ f-/VdK -^Kdt\ , ,

On a d'ailleurs tang cd = -•••; d'où par la différentiation

Idh — hdl = e^di^ , ïdK — Kdt == e'Vo)', etc.

Substituant ces valeurs dans l'équation précédente, on aura donc

(p) m\lâ e^ ^ -t- msjae^ "^ +'• ~ ^^5 = c^«^^-

Du groupe d'équations en dp, dq, dp\ dq\,., on déduirait semblablement

et comme d'après l'équation tang 6 = -?

qdp — pdq = tang ^çp c?ô, ^'e/p' — pWç' = tang Y ^Ô'.

on aurait

(^) m\la tang ^? ^ + »* Vû^ tang ^^ "^+- • • = <?<>«*'•

Cefe équations (p) et [q) montrent que les vitesses angulaires ■^î 1/7 " ^®® périhélies des orbites de m, m'... et celles

^/' lit •••"^^^"^ "^*i^s ne peuvent pas croître indéfiniment, si on les suppose toutes de môme signe.